ロールの定理と平均値の定理

 

ロールの定理 Rolle's theorem

 関数 $f(x)$ が $a \leq x \leq b$ で連続、$a \lt x \lt b$ で微分可能で、
\[f(a)=f(b)=0\]であるならば、
\[f'(c)=0\quad (a \lt x \lt b)\]となるような実数 $c$ が少なくとも1つ存在します。

 ロールの定理 (Rolle's theorem) は、曲線が滑らかで切れ目なくつながっていて、しかも異なる 2 点で同じ値をとるならば、その 2 点の間に $x$ 軸と平行な接線を引くことができると主張しているのです。

ロールの定理の証明

 下の図でイメージを掴んでください。

 ロールの定理(rolle's theorem)

 $f(x)=0$ のときは $f'(x)=0$ となって定理は成り立ちます。
 次に $f(x) \gt 0$ となる値がある場合を考えます。$f(x)$ は区間内で連続なので、ある点 $c$ で最大値をとることができるはずです。このとき
 
\[f'(c) \gt 0,\quad f(a)=f(b)=0\]
なので $c$ は $a,\:b$ のどちらでもなく、
 
\[a \lt c \lt b\]
という関係にあります。$f(c)$ は最大値なので、小さな値 $|\Delta x|$ に対して
 
\[f(c+\Delta x) \leq f(c)\]
が成り立ちます。よって $\Delta x \gt 0$ のとき
 
\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x} \leq 0\]
となります。すなわち
 
\[f'(c)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \leq 0\]
です。同様に $\Delta x \lt 0$ のとき $f'(c) \geq 0$ となるので、
 
\[0 \leq f'(c) \leq 0\]
すなわち $f'(c)=0$ が成り立ちます。$f(x) \lt 0$ となる値がある場合も同様の議論によって $f'(c)=0$ が導かれます。
 

平均値の定理 Law of the mean

 ロールの定理をより一般化した平均値の定理を解説します。

 関数 $f(x)$ が $a \leq x \leq b$ で連続、$a \lt x \lt b$ で微分可能であるならば、
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \quad (a \lt c \lt b)\]となるような実数 $c$ が少なくとも1つは存在します。

 平均値の定理 (Law of the mean) は曲線上の 2 点 $(a,\:f(a)),\:(b,\:f(b))$ を結ぶ線分と平行な接線がひけるような点 $(c,\:f(c))$ が区間内に存在することを主張しています。

 平均値の定理(修正版)

平均値の定理の証明

 コーシー (Augustian Louis Cauchy) による巧みな証明法を紹介しましょう。
 
\[m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
とおきます。そして次のような関数
 
\[F(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)\]
をつくってみると $F(a)=0$ であり、また
 
\[F(b)=f(b)-f(a)-m(b-a)=0\]
となります(こうなるように $F(x)$ を定義したのです)。つまり
 
\[F(a)=F(b)=0\]
を満たし、$F'(x)=f'(x)-m$(微分可能)なので、ロールの定理より
 
\[F'(c)=0 \quad (a \lt c \lt b)\]
となるような実数 $c$ が少なくとも 1 つは存在します。このとき $f'(c)=m$ ですから、
 
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\]
が成り立ちます。

$h=b-a$ で表した平均値の定理

 平均値の定理を端点 $a$ と $b$ の差で表すこともできます。つまり
 
\[b=a+h\]
とおくと $a$ と $b$ の間にある点 $c$ は
 
\[c=a+\theta h \quad (0 \lt \theta \lt 1)\]
と表すことができるので、平均値の定理を以下のように書くことができます。

 関数 $f(x)$ が区間 $[a,\:a+h]$ で連続、$(a,\:a+h)$ で微分可能であるならば、
\[f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)\]となるような実数 $\theta$ が少なくとも1つは存在します。

 大学入試等で平均値の定理が題材になることは少ないですが、この定理は別名 存在定理 とよばれ、数学を発展させるために大きな貢献をしてきました。「なにかの存在を保証する」というのは、数学ではものすごい威力を発揮するのです。
 

コーシーの平均値の定理 Cauchy's Mean-Value Theorem

 平均値の定理を一般化したのが コーシーの平均値の定理 です。

 関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $[a,\:b]$ で連続であるとします。
 さらに区間内で微分可能かつ $g'(x) \neq 0$ であるならば
\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \quad (a \lt c \lt b)\]となるような点 $c$ が存在します。

 $g(x)=x$ とすれば平均値の定理が得られます。

コーシーの平均値の定理の証明

 平均値の定理より
 
\[g(b)-g(a)=(b-a)g'(d) \quad (a \lt d \lt b)\]
となる点 $d$ が存在します。$g'(d) \neq 0$ なので $g(b)-g(a) \neq 0$ です。
 
\[\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\]
という定数を定義して
 
\[F(x)=f(x)+\lambda g(x)\]
という関数をつくります。$F(a)=F(b)$ なのでロールの定理が使えて
 
\[F'(c)=f'(c)+\lambda g'(c)=0\]
を満たす点 $c$ が存在します。よって $\lambda$ は $c$ を用いて
 
\[\lambda=-\frac{f'(c)}{g'(c)}\]
と表せるので
 
\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\]
が成り立ちます。 ≫ 数学辞典

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