平方根の和と和の平方根

[問題 AG-11] 平方根の和と和の平方根

 次の不等式を証明してください。

 \((1)\:a \gt 0,\:b \gt 0\) のとき \(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\)

 \((2)\:a \gt b \gt 0\) のとき \(\sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}\)

解答の準備

 いくつか具体的な数値で確認しておきましょう。 (1) の不等式は
\[\begin{align*}(a,\:b)=&(1,\:1) \qquad 2 \gt \sqrt{2}\\[6pt]
(a,\:b)=&(1,\:2) \qquad 1+\sqrt{2} \gt \sqrt{3}\\[6pt]
(a,\:b)=&(2,\:2) \qquad 2\sqrt{2} \gt 2\end{align*}\]というような関係が成り立つということです。

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問題 AG-10 の解答

(1) \(A=\sqrt{a}+\sqrt{b}, \: B=\sqrt{a+b}\) とおくと、
  \(A \gt 0, \: B \gt 0\) ですから、 \(A^2 \gt B^2\) を示せばよいことになります。
 
\[A^2-B^2=a+2\sqrt{ab}+b-(a+b)=2\sqrt{ab}\gt0\]
 したがって、 \(\sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b}\) となります。
 
(2) \(A=\sqrt{a-b} \gt 0, \: B=\sqrt{a}-\sqrt{b} \gt 0\) とおくと、
 
\[\begin{align*}
A^2-B^2=&a-b-(a-2\sqrt{ab}+b)\\[6pt]
=&2\sqrt{ab}-2b\\[6pt]
=&2\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \gt 0\end{align*}\]
 すなわち、 \(\sqrt{a-b} \gt \sqrt{a}-\sqrt{b}\) が成り立つことが証明されました。

 ≫ [問題12] 相加平均と相乗平均 ≫ 数学演習問題

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