揺れながら回転する行列

 回転を表す1次変換は
 
\[\binom{X}{Y}=\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta \\
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta \end{pmatrix}\binom{x}{y}\]
によって与えられますが、ある点を変換し、得られた座標に対してまた変換するということを繰り返すと、つまり座標 (xn, yn) を
 
\[\binom{x_n}{y_n}=\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta \\
\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta \end{pmatrix}\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}\]
によって定めると、その変換の軌跡は円となります。

 回転行列グラフ

 上図では点 (1, 0) に対して θ = π/36 の回転行列により繰り返し変換をしています。そして、この回転行列に無作為な数を組込んでみることにします。その変換は
 
\[\binom{x_n}{y_n}=\begin{pmatrix}
\mathrm{cos}(\theta+r_1) & -\mathrm{sin}(\theta+r_2) \\
\mathrm{sin}(\theta+r_3) & \mathrm{cos}(\theta+r_4) \end{pmatrix}\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}\]
によって与えられるものとし、r1, r2, r3, r4 は - 0.1 から 0.1 のランダムな値をとるものとします(行列の各成分で異なる乱数が組込まれます)。 3 回の試行をまとめて載せてみましょう。

 無作為回転行列グラフ

 全体として揺れながらも円のような軌道を描くのですが、試行ごとに軌跡が異なっていますね。上の2つは半径 1 を超えて行きますが、3つめのグラフでは逆に回転半径を小さくしています。

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