三角関数の積分で定義された関数

 VBA 数学マクロコレクションの記事 に掲載されている $\sin^n kx$ の積分を計算するマクロを使った数値実験です。
 

sinnx の積分で関数を定義します

 関数 $S_n(x)$ を次のように定義します。
 
\[S_n(x)=\int_{0}^{x}\sin^nxdx\]
 右辺の積分範囲の上限が変数 $x$ となっているので、$S_n(x)$ は $\sin^nx$ を 0 から $x$ まで 積分した値として定義されています。

n が奇数のとき

 まず $n$ が奇数のときの様子をグラフで描いてみます。

 

 赤、青、緑の線はそれぞれ $n=3,\:5,\:7$ に相当するグラフです。
 $n$ の増加にともなって極大値が小さくなっていますね。
 参考のために添えた $y=\sin^3x$ のグラフと比較すると、$x=n\pi$ で積分値がキャンセルして 0 になる意味がわかります。ちなみに数値計算では $\sin x$ の 51 乗という無茶な関数も積分することもできます:

 

 小さな波が連なっていますね。$n\rightarrow \infty$ とすると完全に押し潰されて直線になってしまうと予想できます。$\sin x$ の 1001 乗を計算してみると ......

 

 まだ完全に押し潰されてはいませんが、$S_n(x)$ は極大の部分でもわずかな値しかとりません。

n が偶数のとき

 次は $n$ が偶数であるときのグラフです。

 

 $\sin^nx$ の値が負になることはないので、$x$ の増加とともに $S_n(x)$ は(揺れながらも)ほぼ直線的に増えていくことになります。 ≫ Excel 数学グラフ

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