三角級数

[問題 CX-03] 三角級数

 オイラーの公式 e = cosθ + i sinθ を用いて三角級数の公式
 
\[\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}cosk\theta =\frac{sin[(n+1)\theta /2\: ]}{sin(\theta /2)}\: cos\: \frac{n\theta }{2}\\
\sum_{k=0}^{n}sink\theta =\frac{sin[(n+1)\theta /2\: ]}{sin(\theta /2)}\: sin\: \frac{n\theta }{2}
\end{align*}\]
を証明してください。
 

解答 CX-03

 極形式 e の形から等比級数の和を求めておけば、最後に実部と虚部をとると coskθ と sinkθ の和をまとめて求めることができます。

S = 1 + e + ei2θ + ......

とおけば、初項 1, 公比 e, 項数 n + 1 の等比数列の和ですから、
 
\[S=\frac{1-(e^{i\theta })^{n+1}}{1-e^{i\theta }}\]
と求めることができます。問題はここからで、分母と分子をうまく変形していかなくてはなりません。そのためによく知られた公式
 
\[sin\theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}\]
を用います。

1 = e-iθ/2 eiθ/2
e = eiθ/2 eiθ/2

のように変形すると

分母 = eiθ/2 (e-iθ/2 - eiθ/2) = -2 i e sin[θ/2]
分子 = -2 i ei(n + 1)θ sin[(n + 1)θ/2]

となるので、

\[S=\frac{sin[(n+1)\theta /2]}{sin[\theta /2]}e^{in\theta /2}\]
となり、実部と虚部をとって
 
\[\begin{align*}
I=Re S=\sum_{k=0}^{n}cosk\theta =\frac{sin[(n+1)\theta /2\: ]}{sin(\theta /2)}\: cos\: \frac{n\theta }{2}\\
J=Im S=\sum_{k=0}^{n}sink\theta =\frac{sin[(n+1)\theta /2\: ]}{sin(\theta /2)}\: sin\: \frac{n\theta }{2}
\end{align*}\]
という三角級数の公式を得ます。 ⇒ 複素解析学問題集トップページへ

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