数列(発散と収束、極限の四則演算)

数列 Sequence

 自然数 $1,\:2,\:3,\: \cdots,\:n,\: \cdots$ のそれぞれに対応する数があって、それらを順に並べた
 
\[a_1,\:a_2,\:a_3,\: \cdots,\:a_n,\: \cdots\]
数列 (sequence) とよび、まとめて $\{a_n\}$ と書くこともあります。それぞれの数字を 項 (term) といい、 $a_1$ を 初項 (first term), $a_n$ を 一般項 (general term) といいます。たとえば、
 
\[1,\:3,\:5,\:7,\: \cdots,\:2n+1,\: \cdots\]
は初項 1 に 2 を加えながら並べた 等差数列 です ($a_n=2n+1$) 。項数が有限である数列を 有限数列 (finite sequence), 無限である数列を 無限数列 (finite sequence) とよびます。
 

収束 Convergence

 たとえば次のような減少数列 (decreasing sequence)
 
\[2,\:\frac{3}{2},\:\frac{5}{3},\: \cdots,\:2-\frac{1}{n},\: \cdots\]
を考えます。 $n$ を大きくしていくと $1/n$ は減少し続けて最後には 0 となり、数列は 2 に限りなく近づいていきます。これを
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=2\]
と書いて数列 $\{a_n\}$ は 2 に収束するといいます。これを単に $a_n \rightarrow 2$ と書くこともあります。一般に $n \rightarrow \infty$ のときに $a_n$ が確定値 $a$ をとる場合、数列 $\{a_n\}$ は $a$ に収束するといい、 $a$ のことを 極限値 (limit value) とよびます。
 

発散 Divergence

 初項 2 に順次 2 を掛け続ける数列 (等比数列)
 
\[2,\:4,\:8,\: \cdots,\:n^2,\: \cdots\]
は $n$ を無限に大きくすると $a_n$ も無限に大きくなり、それを記号で
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty\]
と表記します。数列は 正の無限大に発散 (divergence) する といいます。これを単に $a_n \rightarrow \infty$ と書くこともあります。また逆に
 
\[2,\:0,\:-2,\: \cdots,\:4-2n,\: \cdots\]
という数列は $n$ を無限に大きくすると $a_n$ が無限に小さくなっていきます(絶対値は無限大となります)。このような数列は 負の無限大に発散 (divergence) するといい、
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=-\infty\]
と書きます。簡略記号は $a_n \rightarrow -\infty$ です。
 

有限不確定 No limit value

 初項 -1 に -1 を順次掛けていく数列
 
\[-1,\:1,\:-1,\: \cdots,\:(-1)^n,\: \cdots\]
は -1 と 1 を繰り返し、$n$ を無限に大きくしても特定の値に定まりません。このような状態を「極限なし」あるいは「有限不確定」といいます。
 

極限の四則演算
 Four Arithmetical Operations of Limit Value

 極限値の四則演算については次の公式が成り立ちます。

 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が収束し、
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\alpha,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=\beta\] であるとき、

\[\begin{align*}[1]&\:\lim_{n\rightarrow \infty}ka_n=k\alpha\\[6pt]
[2]&\:\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n \pm b_n)=\alpha \pm \beta\\[6pt]
[3]&\:\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\end{align*}\] が成り立ちます。

 ≫ 数学辞典

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください