集合の演算(交換、結合、分配、ド・モルガンの法則)

 

集合 Sets

 たとえば「 8 以下の自然数」を書き並べてみると
\[1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:8\]範囲が定まった集まりを表します。このような集まりのことを 集合 (set) とよびます。そして集合を構成している個々のものを 要素 (element) といいます。全ての要素を { } で括って
\[A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\]のように書けば、$A$ は「 8 以下の自然数」で構成される集合であることを明示したことになります。この例のように要素の数が有限であるとき、この集合を 有限集合 とよびます。しかし、たとえば自然数全体を集合として扱う場合は、要素数が無限にあるため 無限集合 とよび、
\[A=\{1,2,3,\cdots\}\]のように表します。

部分集合と真部分集合

 集合を考えるときは下の図のような ベン図 (Venn diagram) を用いて表すと複雑な関係も理解しやすくなります。

 集合ベン図

 図にあるように、集合 $A$ のどの要素も集合 $B$ の要素であるときには、$A$ は $B$ の 部分集合 (subset) であるといい、
\[A\subseteq B\]という記号で表します。たとえば正の偶数全体は自然数の部分集合となります。この記号は $A$ と $B$ の要素が全て一致している場合も表しています。$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ ならば、$A$ と $B$ の要素は一致しているといい、
\[A=B\]と表します。もし $A$ と $B$ が等しくないことが明らかな場合は
\[A\subset B\]と書いて、$A$ は $B$ の真部分集合 (proper subset) であるといいます。

共通部分と和集合

 下図のように、$A$ と $B$ のどちらにも含まれる要素で構成される集合のことを $A$ と $B$ の 共通部分 (intersection) とよび、
\[A\cap B\]と表します。「 $A$ かつ $B$ 」あるいは「 $A$ cap $B$ 」と読みます。

 Excel共通部分ベン図

 $A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素で構成される集合のことを $A$ と $B$ の 和集合 (union) とよび、
\[A\cup B\]と表します。「 $A$ または $B$ 」あるいは「 $A$ cup $B$ 」と読みます。

 Excel和集合ベン図

全体集合と補集合、空集合

 最初にある1つの集合 $U$ を定義して、$U$ の要素や部分集合を考えるとき、$U$ を 全体集合 (universe) といいます。$U$ の部分集合 $A$ を定義したとき、$A$ に属していない要素で構成される集合を $A$ の補集合とよび、$\bar{A}$ で表します。

 

 また、要素を1つも含まない集合のことを 空集合 (null set) とよび $\phi$ で表します。

集合の演算 Operations of Sets

 集合の演算についてまとめておきます。

\[\begin{align*}\bar{A}=A,\quad A\cap\bar{A}=\phi\\[6pt]
A\cup U=U \quad A\cap U=A\end{align*}\]
① 交換法則
\[\begin{align*}A\cup B=B\cup A\\[6pt]
A\cap B=B\cap A\end{align*}\]② 結合法則
\[\begin{align*}A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C\\[6pt]
A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C\end{align*}\]③ 分配法則
\[\begin{align*}
A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\\[6pt]
A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\end{align*}\]④ ド・モルガンの法則
\[\begin{align*}\bar{A\cap B}=\bar{A}\cup\bar{B}\\[6pt]
\bar{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}\end{align*}\]

 下のベン図は分配法則を表したものです。

 集合(AかつBまたはC)

 集合ベン図(AかつBまたはAかつC)
 

要素の数 Number of Elements

集合の和

 有限集合 $A$ に対して、その要素の数を $n(A)$ と書くと、2 つの有限集合 $A,\:B$ の要素の数について次の式が成り立ちます。
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\] $n(A)+n(B)$ は共通部分を重複して数えているので、そのぶんだけ 1 回引いておくのです。たとえば $A,\:B$ を
\[A=\{2,\:4,\:6,\:8,\:10,\:12\},\quad B=\{3,\:6,\:9,\:12\}\]のように定義して、この 2 つの集合を合わせることを考えます。それぞれの要素の数を単純に足し合わせると
\[n(A)+n(B)=6+4=10\]となりますが、共通部分の 6 と 12 を余分に数えているので、それを差し引いて
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=10-2=8\]となります。$A\cap B=\phi$ のときは共通部分がないので
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)\]となります。

集合の積

 2 つの集合 $A,\:B$ について、1 つずつ要素 $a,\:b$ を取り出して $a$ のあとに $b$ を並べたものを 順序対 とよび、$(a,\:b)$ で表します。集合 $A,\:B$ に含まれるすべての要素について順序対をつくり、それらを全て含む集合を $A$ と $B$ の 直積 (direct product) とよび、
\[A\times B=\{(a,\:b)|\:a\in A,\:b\in B\}\]で表します。たとえば

\[A=\{1,\:2,\:3\},\quad B=\{4,5\}\]と定義すると

\[A\times B=\{(1,4),\:(1,5),\:(2,4),\:(2,5),\:(3,4),\:(3,5)\}\]となります。$A$ の要素 1 つに対して $B$ の要素が 2 つあるので、直積集合の数は 3 × 2 = 6 個となっています。一般に直積集合の数は

\[n(A\times B)=n(A)\times n(B)\]によって計算できます。 ≫ 数学事典

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