不等式で絞り込みます(分母と分子の間に条件があります)

[問題 NT-07] 不等式で絞り込みます

 次の分数式
\[f(n)=\frac{2n}{n^{2}+n+1}\]
が整数となるような整数 n を求めてください。

問題 NT-07 のヒント

 前回の問題に似ていますが、今回は整数解を求めます。

無限の果てに何があるか 現代数学への招待 (角川ソフィア文庫)

問題 NT-07 の解答

 まず n = 0 という解がすぐに見つかりますから、以下では n ≠ 0 として 0 以外の解を探します。 f(n) が整数であるためには分母が分子以下なくてはなりません。

n2 + n + 1 ≦ |2 n|   [1]

 絶対値記号を外して場合分けします。

 ① n > 0 のとき

  n2 + n + 1 ≦ 2 n

  n2 - n + 1 ≦ 0

  (n - 1/2)2 ≦ - 3/4

  このような n は存在しません。

 ② n < 0 のとき   n2 + n + 1 ≦ - 2 n

  n2 + 3 n + 1 ≦ 0

  (n + 3/2)2 ≦ 5/4

  - √5/2 ≦ n + 3/2 ≦ √5/2

  - √5 ≦ 2 n + 3 ≦ √5

  - 2 ≦ 2 n + 3 ≦ 2  (∵ √5 = 2.236 ...)

  - 5 ≦ 2 n ≦ -1

  - 5/2 ≦ n ≦ - 1/2

  - 2 ≦ n ≦ - 1

  したがって、n = - 2 と - 1 が解の候補となります。

   f(- 2) = -4/3, f(- 1) = - 2

  ですから、n = - 1 が解です。

 以上より、f(n) が整数となるような整数 n は 0 と -1 となります。

 ≫ [問題08] 約数の和 ≫ 数学演習問題

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