f(x) = sinx / xa

f(x) = sinx / xa

 微積分を習い始めた頃に 

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1\]
という極限の式を必ず覚えます。この極限値は分母の x が正確に x でなければなりません。つまり x1.1 でも x0.9 でも上の関係は崩壊します。つまり
 
\[f(x)=\frac{sinx}{x^{a}}\]
という関数を考えたときに、a はぴったり 1 でなければならないということです。それではこの a が 1 からずれたとき、どのように崩壊してしまうのかということをエクセルのグラフで解析してみます。

 [Graph]f=sinxdiv(x^a)

 赤いラインが a = 1.0 です。 x → 0 のとき 1 に収束していますね。
 指数が 1 より僅かに小さい青のライン (a = 0.9) では x → 0 のとき値は 0 に収束しています。もちろんこの収束を式で示すことは簡単で、
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x^{0.9}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\frac{1}{x^{-0.1}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\: x^{1/10}=0\]
となり、確かに 0 に収束することがわかります。この収束は a < 1 なら常に成り立つので、a = 0.999 のように僅かに 1 より小さい値であっても必ず 0 に収束します。  緑のラインが指数部分が 1 より少し大きい場合のグラフ (a = 1.1) で、今度は逆に + ∞に発散してしまいます。  グラフを見ると a = 1 という値が、 f(x) が 0 に収束するのか、あるいは + ∞ に発散するかの分枝点になっていることがわかりますね。  

g(x) = (1 - cosx) / xa

 先の式と並んで
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^{2}}=\frac{1}{2}\]
という極限も習いますね。先と同様に
 
\[g(x)=\frac{1-cosx}{x^{a}}\]
という関数を考えて、a = 2.0 とその前後の値を指定した場合のグラフを描いてみます。

 [Graph]f=(1-cosx)div(x^a)

 今度は a = 0.5 が g(x) の 0 への収束、 + ∞ への発散の分枝点となっています。このように定理として与えられている極限の多くは、このようなぎりぎりのところで成り立っていることが多いのです。

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