相異なる 5 個の自然数

[問題 NT-32] 相異なる 5 個の自然数

 相異なる 5 個の自然数があります。そこから 2 個ずつの異なる組合せを 10 組作り、それぞれの組の数字の和を小さい順に並べると
\[42,\:44,\:48,\:48,\:50,\:52,\:54,\:54,\:56,\:60\]となりました。5 個の自然数を全て求めてください。

問題 NT-32 のヒント

 未知数が 5 つだから、5 つの方程式が必要です。
 

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解答 NT-32

 求める 5 つの自然数を $a\lt b\lt c\lt d\lt e$ とおきます。
 2 個ずつの組合せを全て列挙すると
 
\[\begin{align*}(a,\:b),\quad (a,\:c),\quad (a,\:d),\quad (a,\:e),\quad (b,\:c)\\[6pt]
(b,\:d),\quad (b,\:e),\quad (c,\:d),\quad (c,\:e),\quad (d,\:e)\end{align*}\]

 2 数の和が一番小さな数と二番目に小さな数はそれぞれ
 
\[\begin{align*}a+b=42\tag{1}\\[6pt]
a+c=44\tag{2}\end{align*}\]
となることがわかります。三番目以降についてはわかりません。また 2 数の和が一番大きな数と二番目に大きな数は、それぞれ
 
\[\begin{align*}d+e=60\tag{3}\\[6pt]
c+e=56\tag{4}\end{align*}\]
です。これで計 4 個の方程式が得られました。残るひとつは、2 数の和を全て足し合わせてつくります。
 
\[4(a+b+c+d)=508\]
 したがって、
 
\[a+b+c+d+e=127\tag{5}\]
となります。5 個の方程式をまとめておきます。
 
\[\begin{align*}&a+b=42\tag{1}\\[6pt]
&a+c=44\tag{2}\\[6pt]
&d+e=60\tag{3}\\[6pt]
&c+e=56\tag{4}\\[6pt]
&a+b+c+d+e=127\tag{5}\end{align*}\]
 (1) と (3) を加えて
 
\[a+b+d+e=102\tag{6}\]
 これと (5) から $c=25$ が得られるので、あとは (1) ~ (4) に順次代入して
 
\[a=19,\quad b=23,\quad c=25,\quad d=29,\quad e=31\]
となります。 ≫ 平方して 17 で割ると 4 余ります ≫ 整数論問題集

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