max(a,b),min(a,b)：小さくない数と大きくない数

小さくない数と大きくない数

整数 $a,\:b$ があって、小さくないほうの数を $\mathrm{max}(a,\:b)$ , 大きくないほうの数 を $\mathrm{min}(a,\:b)$ と表すことがあります。たとえば
\[\mathrm{max}(5\:,9)=9,\quad\mathrm{min}(17,\:8)=8\]
となります。この記号は大きい数、小さい数を表すものではないことに注意してください。$a=b$ という場合があるからです。つまり
\[\mathrm{max}(a,\:a)=a,\quad\mathrm{min}(a,\:a)=a\]
となります。$\mathrm{max}(a,\:b),\quad\mathrm{max}(a,\:b)$ については他にも次のような公式が成り立ちます。
\[\begin{align*}&(1)\:\mathrm{max}(a+c,\:b+c)=\mathrm{max}(a,\:b)+c\\[6pt]&(2)\:\mathrm{min}(a+c,\:b+c)=\mathrm{min}(a,\:b)+c\\[6pt]&(3)\:\mathrm{max}(-a,\:-b)=-\mathrm{min}(a,\:b)\\[6pt]&(4)\:\mathrm{min}(-a,\:-b)=-\mathrm{max}(a,\:b)\\[6pt]\end{align*}\]
【証明】いずれの式も $a$ と $b$ について対称なので、$a\geq b$ として証明します。

(1) $a+c\geq b+c$ なので
\[\begin{align*}&\mathrm{max}(a+c,\:b+c)=a+c\\[6pt]&\mathrm{max}(a,\:b)+c=a+c\end{align*}\]

(2) $a+c\geq b+c$ なので
\[\begin{align*}&\mathrm{min}(a+c,\:b+c)=b+c\\[6pt]&\mathrm{max}(a,\:b)+c=b+c\end{align*}\]

(3) $a\geq b$ すなわち $-a\leq -b$ なので
\[\begin{align*}&\mathrm{max}(-a,\:-b)=-b\\[6pt]&-\mathrm{min}(a,\:b)=-b\end{align*}\]

(4) $a\geq b$ すなわち $-a\leq -b$ なので
\[\begin{align*}&\mathrm{min}(-a,\:-b)=-a\\[6pt]&-\mathrm{max}(a,\:b)=-a\end{align*}\]
（証明終）

どの公式も具体的な値を入れてみれば、ごく当たり前のことです。たとえば
\[\begin{align*}&\mathrm{max}(10,\:15)=\mathrm{max}(0,\:5)+10=5+10=15\\[6pt]&\mathrm{max}(-4,\:-8)=-4=-\mathrm{min}(4,\:8)\end{align*}\]
のようになります。