2 乗して 5 の倍数となる数 n は 5 の倍数です

[問題 NT-11] 平方して 5 の倍数となる数

 自然数 n について、n2 が 5 の倍数であれば、n もまた 5 の倍数であることを証明してください。

問題 NT-11 のヒント

 ほとんど自明のことに思えますが、すっきり証明するには命題を「書き換えて」みることが必要になります。

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問題 NT-11 の解答

 与えられた命題

n2 が 5 の倍数 ⇒ n が 5 の倍数

を直接証明するのは難しいので、対偶をとって

n が 5 の倍数ではない ⇒ n2 が 5 の倍数ではない

を証明します。 5 の倍数ではない自然数は正の整数 k を使って、

n = 5 k ± 1, 5 k ± 2

と表すことができます。それぞれの平方数をつくると

  (5 k ± 1)2 = 25 k2 ± 10 k + 1 = 5 k(5 k ± 2) + 1
  (5 k ± 2)2 = 25 k2 ± 20 k + 4 = 5 k(5 k ± 4) + 4

となって確かに 5 の倍数とはなっていません。(証明終わり)

 下に p ⇒ q が成り立つための集合図を載せておきました。
 対偶関係を確認しておいてください。

  Excel命題の対偶
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