Excel で階段の上り方を数えます

[EX-19] Excel で階段の上り方を数えます

 50 段の階段があります。1 度に 1 段または 2 段上るとすれば、上り方は何通りありますか?
 
 

問題 EX-19 のヒント

 数列分野で有名な「階段上り」の問題です。さすがに 50 段もあると計算が大変ですから、Excel で計算させましょう。
 

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解答 EX-19 (漸化式をつくります)

 $n$ 段上るときの方法を $f(n)$ 通りとします。
 最初に $1$ 段上がったとき、残りの $n-1$ 段を上る方法は $f(n-1)$ 段です。
 最初に $2$ 段上がったとき、残りの $n-2$ 段を上る方法は $f(n-2)$ 段です。

 Excel 階段の上り方

 すなわち、$n$ 段上るときの方法は
 
\[f(n)=f(n-1)+f(n-2)\]
で表されることになります(前 2 項の和が次の項となる、いわゆるフィボナッチ数列です)。初項と第 $2$ 項は $f(1)=1,\;f(2)=2$ ですから、たとえば第 $5$ 項まで計算してみると
 
\[\begin{align*}f(3)=f(2)+f(1)=3\\[6pt]
f(4)=f(3)+f(2)=5\\[6pt]
f(5)=f(4)+f(3)=8\end{align*}\]
となります。同じような方法で Excel で計算させて $f(50)$ を求めてみます。下の図のようなシートを作成します。

 Excel 階段の上り方を計算するワークシート

 A 列には $n$ の値を 1 ~ 50 まで揃えておきます。
 セル B2 には「1」, B3 には「2」を入れておきます。B4 には

=B2+B3

と入力して数式を B51 までコピーします。セル B51 のデータを見ると
 
\[f(50)=20365011074\]
であることがわかります。

 ≫ [問題20] max(x + cosx, sinx) ≫ Excel で解く数学問題集

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