合計金額が 100 円になるように切手を買います

[問題 PS-11] 合計金額が 100 円になるように切手を買います

 $5$ 円、$10$ 円、$20$ 円の $3$ 種類の切手を合わせて $100$ 円買うには、何通りの買い方がありますか。ただし切手は必ず $3$ 種類とも含むものとします。

(日本大)

 
 

ヒント (5 円切手の枚数にはある制約があります)

 不定方程式の整数解の個数を求める問題ですが、合計金額を考えると、$5$ 円切手の枚数には制約があります。
 

解答 PS-11

 $5$ 円切手の枚数を $x$ , $10$ 円切手の枚数を $y$ , $20$ 円切手の枚数を $z$ とすると、
 $5x+10y+20z=100$ より
 
\[x+2y+4z=20\]
という方程式が立てられます。ただし合計金額が $100$ 円なので、$x$ は偶数であるはずです。そこで $x=2x'$ とおくと、
 
\[x'+y+2z=10\]
となります。どの切手も少なくとも $1$ 枚は買うので、$z\lt 5$ です。すなわち、$z$ のとりうる値は $z=1,\;2,\;3,\;4$ のいずれかです。$z=1$ のときは
 
\[x'+y=8\]
 $x'$ と $y$ はともに $1\sim 7$ の数字をとれるので、この方程式を満たす $(x',\:y)$ の組合せは $7$ 通り存在します。同様に考えて

   $z=2$ のとき、$x'+y=6$ を満たす解は $5$ 通り
   $z=3$ のとき、$x'+y=4$ を満たす解は $3$ 通り
   $z=4$ のとき、$x'+y=2$ を満たす解は $1$ 通り

となるので、答えは合わせて $16$ 通りとなります。

 ≫ [問題12] 展開式の定数項 ≫ 確率統計演習問題

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