棒で三角形をつくります/部屋割りの方法

[問題 PS-02] 長さの異なる棒を選んで三角形をつくります

 長さが 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm の 5 本の棒があります。このうちの 3 本を取り出して三角形をつくると、何種類のちがったものができますか。
 
 

問題 PS-02 のヒント

 選んだ棒の種類によって三角形ができる場合とできない場合があるので、条件に合う組合せを数え上げます。
 

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解答 PS-02(三角形の成立条件を忘れずに)

長さの異なる棒を選んで三角形を作る 本問で条件反射的に「 $5$ 個の中から $3$ 個を選ぶから ${}_{5}\mathrm{C}_{3}=10$ 通り!」などと解答してしまうと大変です。

 たとえば図にあるように、$9\,\mathrm{cm},\;3\,\mathrm{cm},\;1\,\mathrm{cm}$ の棒を選んでも三角形をつくることはできません。つまり選んだ棒の長さを $a\gt b\gt c$ とすれば、三角形の成立条件
 
\[a\lt b+c\]
を満たしていなければなりません。そのような組み合わせは
 
\[(9,\:7,\:5),\;(9,\:7,\:3),\;(7,\:5,\:3)\]
の $3$ 種類だけです。 ≫ 4 進法と 10 進法 ≫ 確率統計演習問題
 
 

[問題 PS-06] 部屋割りの仕方を数えます

 $n$ 人を部屋割りします。
 1つの部屋には少なくとも1人は入れるものとして以下の問いに答えてください。

 (1) $n\geq 2$ とします。$n$ 人を $2$ 室に入れる方法は何通りありますか。
 (2) $n\geq 3$ とします。$n$ 人を $3$ 室に入れる方法は何通りありますか。
 (3) $n\geq 4$ とします。$n$ 人を $4$ 室に入れる方法は何通りありますか。
 

問題 PS-06 のヒント

 シンプルな設定ですが、このタイプの問題を初めて見る場合は意外に手こずるかもしれません。考え方さえわかれば計算自体は簡単です。(2) は (1) の結果を、(3) は (1) と (2) の結果を使います。
 

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解答 PS-06

 部屋に人がいる場合を A , 空室を X という記号で表すことにします。

(1) $n$ 人が無条件で部屋を選択できる場合は重複順列なので $2^n$ 通りですが、空室を作ってはいけないというルールなので、

XA AX

という $2$ 通りを除かなくてはいけません。よって答えは $2^n-2$ 通りです。

(2) 無条件で部屋を選択できる場合は $3^n$ 通りです。
  $1$ 室が空室になるような状況、すなわち

XAA AXA AAX

という状況は、それぞれについて $2$ 部屋に空室のないように入れる仕方の数をかぞえればよいので、(1) の結果より全部で $3\,(2^n-2)$ 通りです。また、$3$ 室のうち $2$ 室が空室となるのは

XXA XAX XXA

の $3$ 通りです。以上より答えは

$3^n-3\,(2^n-2)-3=3^n-3\cdot 2^n+6$ 通り

となります。

(3) 無条件で部屋を選択できる場合は $4^n$ 通りです。
  $1$ 室が空室になるような状況、すなわち

XAAA AXAA AAXA AAAX

という状況は、それぞれについて $3$ 部屋に空室のないように入れる仕方の数をかぞえればよいので、(2) の結果より全部で

$4\,(3^n-3\cdot 2^n+6)$ 通り

あります。$1$ 室が空室になるような状況は $4$ つの異なるものから $2$ つを選ぶので ${}_{4}\mathrm{C}_{2}=6$ 通りです:

AAXX AXXA XXAA XAAX XAAX XAXA AXAX

 それぞれについて $2$ 部屋に空室のないように入れる仕方の数をかぞえればよいので、(1) の結果より全部で

$6\,(2^n-2)$ 通り

あります。また、$4$ 室のうち $3$ 室が空室となるのは

XXXA XXAX XAXX AXXX

の $4$ 通りです。以上より答えは

$4^n-4\,(3^n-3\cdot 2^n+6)-6\,(2^n-2)-4=4^n-4\,\cdot 3^n+6\,\cdot 2^n-16$ 通り

となります。 ≫ 四角形を塗り分けます ≫ 確率統計演習問題
 
 

[問題 PS-08] 格子点を結んで三角形を作ります

Excel格子点 右の図のように、碁盤の目に並んでいる $16$ 個の点から $3$ 個の点を選んで、それらを頂点とする三角形を作ります。全部でいくつの三角形ができますか。
 
 
 
 
 
 

ヒント(三角形を作れない点もあります)

エクセル格子点 右図のように適当に $3$ つの点を選んで三角形を作ります。しかし、中には三角形を作れない点の選び方もあることに注意します。
 
 
 

解答 PS-08

 $16$ 個の格子点から $3$ 個を選ぶ方法は
 
\[{}_{16}\mathrm{C}_{3}=560\;通り\]
ですが、$3$ 点が一直線に並んでいると三角形が作れないので、そういう選び方は除く必要があります。下の図にあるように、$4$ 点が直線上に乗るような線の引き方は、縦に $4$ 本、横に $4$ 本、斜めに $2$ 本の合計 $10$ 本です。
 
 Excelで作成した格子点
 
 それぞれの直線上にある $4$ 点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{4}\mathrm{C}_{3}$ 通りなので、これらの直線上から $3$ 点を選ぶ方法は全部で
 
\[{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times 10=40\;通り\]
となります。次に $3$ 点が一直線に並ぶような状況は下の図にあるように、合計 $4$ 本です。
 
 エクセルで作図した格子点
 
 以上より、格子点を結ぶ三角形は全部で
 
\[560-40-4=516\;個\]
あります。 ≫ [問題09] 道順問題 ≫ 確率統計演習問題

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