長さの異なる棒を選んで三角形をつくります

[問題 PS-02] 長さの異なる棒を選んで三角形をつくります

 長さが 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm の 5 本の棒があります。このうちの 3 本を取り出して三角形をつくると、何種類のちがったものができますか。
 
 

問題 PS-02 のヒント

 選んだ棒の種類によって三角形ができる場合とできない場合があるので、条件に合う組合せを数え上げます。
 

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解答 PS-02(三角形の成立条件を忘れずに)

長さの異なる棒を選んで三角形を作る 本問で条件反射的に「 $5$ 個の中から $3$ 個を選ぶから ${}_{5}\mathrm{C}_{3}=10$ 通り!」などと解答してしまうと大変です。

 たとえば図にあるように、$9\,\mathrm{cm},\;3\,\mathrm{cm},\;1\,\mathrm{cm}$ の棒を選んでも三角形をつくることはできません。つまり選んだ棒の長さを $a\gt b\gt c$ とすれば、三角形の成立条件
 
\[a\lt b+c\]
を満たしていなければなりません。そのような組み合わせは
 
\[(9,\:7,\:5),\;(9,\:7,\:3),\;(7,\:5,\:3)\]
の $3$ 種類だけです。 ≫ 4 進法と 10 進法 ≫ 確率統計演習問題

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