テイラー展開とテイラー級数

テイラー展開

関数 $y=f(x)$ のマクローリン展開
 \[f(x)\simeq f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\: \cdots \:+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_{n+1}\]
の右辺の $x$ を $x-a$ , 0 を $a$ で置き換えると点 $a$ の近くにおける近似式となります。
 \[\begin{align*}f(x)\simeq &\:f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\: \cdots\\[6pt]&+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_{n+1} \tag{A}\end{align*}\]
この近似式を テイラー展開 (Taylor expansion) といいます。剰余項は
 　\[R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta (x-a))}{(n+1)!}x^{n+1} \quad (0 \lt \theta \lt 1) \tag{B}\]
で与えられます。たとえば、$f(x)=e^x$ を $x=1$ の近くでテイラー展開すると
 \[\begin{align*}f(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}(x-1)^2+\: \cdots\\[6pt]+\frac{e}{n!}(x-1)^n+R_{n+1}\end{align*}\]
となります。剰余項は
 \[R_{n+1}=\frac{e^{1+\theta(x-1)}}{(n+1)!}x^{n+1} \quad (0 \lt \theta \lt 1) \]
となります。

テイラー級数

テイラー展開で項数を無限にとったときに剰余項が 0 に収束するならば、関数 $y=f(x)$ は無限級数の形で表すことができます。
 \[\begin{align*}f(x)=&\:f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\: \cdots \\[6pt]&+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\:\cdots \tag{C}\end{align*}\]
このような級数をテイラー級数（Taylor series）とよびます。たとえば上の公式を使って $f(x)=\sin x$ の $x=\pi/2$ 付近におけるテイラー級数を求めると
 \[\sin x=x-\frac{\pi}{2}-\frac{(x-\pi/2)^3}{3!}+\frac{(x-\pi/2)^5}{5!}+\:\cdots\]
となります。