テイラー展開(関数を無限級数で表します)

 

テイラー展開 Taylor expansion

 関数 $y=f(x)$ の マクローリン展開
 
\[f(x)\simeq f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\: \cdots \:+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_{n+1}\]
の右辺の $x$ を $x-a$ , 0 を $a$ で置き換えると点 $a$ の近くにおける近似式となります。
 
\[\begin{align*}f(x)\simeq &\:f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\: \cdots\\[6pt]
&+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_{n+1} \tag{A}\end{align*}\]
 この近似式を テイラー展開 (Taylor expansion) といいます。剰余項は
 
\[R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta (x-a))}{(n+1)!}x^{n+1} \quad (0 \lt \theta \lt 1) \tag{B}\]
で与えられます。

$f(x)=e^x$ のテイラー展開

 $f(x)=e^x$ を $x=1$ の近くでテイラー展開すると
 
\[\begin{align*}f(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}(x-1)^2+\: \cdots\\[6pt]
+\frac{e}{n!}(x-1)^n+R_{n+1}\end{align*}\]
となります。剰余項は
 
\[R_{n+1}=\frac{e^{1+\theta(x-1)}}{(n+1)!}x^{n+1} \quad (0 \lt \theta \lt 1) \]
となります。
 

テイラー級数 Taylor series

 テイラー展開で項数を無限にとったときに剰余項が 0 に収束するならば、関数 $y=f(x)$ は無限級数の形で表すことができます。
 
\[\begin{align*}
f(x)=&\:f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\: \cdots \\[6pt]
&+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\:\cdots \tag{C}\end{align*}\]
 この級数のことを テイラー級数 (Taylor series) とよびます。

$f(x)=\sin x$ のテイラー級数

 $f(x)=\sin x$ の $x=\pi/2$ 付近におけるテイラー級数を求めると
 
\[\sin x=x-\frac{\pi}{2}-\frac{(x-\pi/2)^3}{3!}+\frac{(x-\pi/2)^5}{5!}+\:\cdots\]
となります。 ≫ 数学辞典

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