三辺の長さの和が一定である三角形の最大面積

[問題 AG-29] 三辺の長さの和が一定である三角形の最大面積

 三辺の長さの和が $2a$ であるような三角形のうち、面積が最大となるのはどのような三角形ですか。また、そのときの三角形の面積を $a$ を用いて表してください。
 
 
 

ヒント(あの公式を使うのです)

 辺の長さで表された三角形の面積 といえば「あの公式」です。
 

ふたたびの高校数学

問題 AG-29 の解答(ヘロンの公式を用います)

 図のような三角形 ABC を考えます。

 三辺の長さの和が一定のとき面積最大となる三角形

 辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ $x,\;y,\;z$ とし
 
\[2a=x+y+z\]
とおくと、面積 $S$ はヘロンの公式
 
\[S=\sqrt{a\,(a-x)\,(a-y)\,(a-z)}\tag{1}\]
によって表されます。$(a-x)\,(a-y)\,(a-z)$ について 3 数の相加相乗平均の関係を用いると
 
\[\{(a-x)\,(a-y)\,(a-z)\}^{1/3}\leq\{\frac{(a-x)+(a-y)+(a-z)}{3}\}\]
となります。右辺に $x+y+z=2a$ を代入して整理すると
 
\[\{(a-x)\,(a-y)\,(a-z)\}^{1/3}\leq\frac{a}{3}\]
 両辺を 3 乗して
 
\[(a-x)\,(a-y)\,(a-z)\leq\frac{a^3}{27}\]
 これを (1) に代入すると
 
\[S\leq\sqrt{\frac{a^4}{27}}=\frac{a^2}{3\,\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\,a^2}{9}\]
 等号成立は
 
\[a-x=a-y=a-z\]
のとき、すなわち $x=y=z$ のときなので、正三角形のときに最大面積
 
\[S=\frac{\sqrt{3}\,a^2}{9}\]
をもつことになります。 ≫ 代数学問題集

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