トランプで確率計算(右端にキングがくる確率は?)

[問題 PS-15] トランプで確率計算

 トランプのスペードのカードが $13$ 枚あります。エース、ジャック、クイーン、キングはそれぞれ $1,\;11,\;12,\;13$ の数字であると考えます。この中から無作為に $5$ 枚を抜き出して、数字が小さい順に左から右へ並べます。

(1) 右端のカードがキングとなる確率を求めてください。
(2) 左端のカードがエース, 右端のカードがキングとなる確率を求めてください。
(3) 真ん中のカードが $7$ である確率を求めてください。
 
 
 

ヒント(確率の基本は場合の数を計算することです)

 今回は トランプを題材とした確率問題 です。本問では引く順番と並ぶ順序は関係ありません。わかりやすいように、エース、ジャック、クイーン、キングは $A,\;J,\;Q,\;K$ で表します。たとえば、$9,\;6,\;K,\;A,\;7$ という順にカードを引いたとすると、
\[A\;6\;7\;9\;K\]というように並びます。つまり何回目に引こうと、キングを引いたら必ず右端にきます。同様にエースを引けば必ず左端にきます。このことを頭に入れて、あとはあまり難しく考えず、基本に忠実に「トランプの並び方は全部で何通りあるのか」「各設問ごとの状況が何通りあるのか」を計算しましょう。
 

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解答 PS-15

(1) 無条件でカードを $5$ 枚引いた時の並べ方は
 
\[{}_{13}\mathrm{C}_5\;通り\]
です。何回目であっても、キングを引いたら必ず右端にきます。そこで

□□□□K

というように $K$ だけは固定して、残り $12$ 枚のカードから $4$ 枚の選び方は
 
\[{}_{12}\mathrm{C}_4\;通り\]
 これがキングを含むカードの選び方の総数になります。
 したがって、右端のカードがキングとなる確率は
 
\[\frac{{}_{12}\mathrm{C}_4}{{}_{13}\mathrm{C}_5}=\frac{5}{13}\]
となります(記事の後半で別解も載せます)。

(2) キングを引いたら必ず右端に、エースを引けば必ず左端にくるので

A□□□K

というように $A$ と $K$ を固定します。残り $11$ 枚のカードから $3$ 枚の選び方は
 
\[{}_{11}\mathrm{C}_3\;通り\]
 これがエースとキングを含むカードの選び方の総数になります。
 よって、左端のカードがエース , 右端のカードがキングとなる確率は
 
\[\frac{{}_{11}\mathrm{C}_3}{{}_{13}\mathrm{C}_5}=\frac{5}{39}\]
となります。

(3) $7$ が中央(左から $3$ 番目)にくるには、$7$ より小さいカードが $2$ 枚引かれて、$7$ より大きいカードが $2$ 枚引かれるという状況です。

□□7□□

 $7$ より小さいカード $6$ 枚の中から $2$ 枚を選ぶ方法は
 
\[{}_6\mathrm{C}_2\;通り\]
あります。それぞれの場合について、$7$ より大きいカード $6$ 枚から $2$ 枚を選ぶ方法も
 
\[{}_6\mathrm{C}_2\;通り\]
です。したがって、真ん中のカードが $7$ となる並べ方は
 
\[{}_6\mathrm{C}_2\times {}_6\mathrm{C}_2\;通り\]
となります。よって、求める確率は
 
\[\frac{({}_6\mathrm{C}_2)^2}{{}_{13}\mathrm{C}_5}=\frac{25}{143}\]
となります。
 

別解 PS-15

 (1) については「くじ引きで当たりを引く確率は順番によらない」という考え方で解くこともできます。すなわち、

 $1$ 回目にキング引く確率は $\displaystyle\frac{1}{13}$
 $2$ 回目にキングを引く確率は $\displaystyle\frac{1}{13}$
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 $5$ 回目にキングを引く確率は $\displaystyle\frac{1}{13}$

と考えれば、和の法則によって右端のカードがキングとなる確率は
 
\[\frac{1}{13}\times 5=\frac{5}{13}\]
というように計算できます。 ≫ [問題16] 9 枚のカード ≫ 確率統計演習問題

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