双子素数は無数に存在する？

数学未解決問題シリーズの２回目です。今回は 双子素数（twin prime）のお話です。

双子素数の不思議な性質

まず素数を並べてみましょう。素数とは 1 と自分自身でしか割り切れない数のことです。ただし 1 だけは除きます。
 
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …
 
この中から、その差が 2 であるペアを拾っていくと
 
 (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), …
 
のようになります。これらの組合せを双子素数とよびます。偶素数は 2 だけですから、(2, 3) という組を除くと、双子素数は互いにもっとも近い素数の組ということになります（もちろん必ず隣り合っています）。双子素数には面白い性質がいくつもあります。たとえば (3, 5) を除く全ての双子素数が (6n-1, 6n+1) の形をしていることが知られています。確かめてみましょう。
 
 (5, 7) = (6-1, 6+1)
 (11, 13) = (6・2-1, 6・2+1)
 (17, 19) = (6・3-1, 6・3+1)
 
確かに法則を満たしていますね。少し複雑な話になりますが、双子素数を (n, n+2) とおくと、
 
 4{(n-1)!+1}+n
 
は n(n+2) で割り切れます。(5, 7) の組合せを例にとると
 
 4{(5-1)!+1}+5 = 105
 
となって、これは 5・7 = 35 で割り切れます。素数が無限に存在することは大昔に証明されていますし、現代では高校１年生の練習問題です。しかし、双子素数が無数に存在するかどうか（双子素数の予想）という命題は現代でも証明されておらず、未解決問題として残っています。もちろん有限である可能性もありますが、やはり多くの数学者は「無数にあるだろう」と予測しています。