1桁の数で割ったときの余りの求め方

2, 4, 5, 8 で割ったときの余り

 整数 N をある数で割ったとき、割り切れるか割り切れないか、割り切れない場合は余りがいくつになるのか、ということを知るための方法を紹介します。とりあえず 4 桁の数として

N = 1000 a + 100 b + 10 c + d

とおいて 2, 4, 5, 8 で割ってみます。桁数が異なっても方法は同じです。

2 で割ります

 N を 2 で割ると

N / 2 = 500 a + 50 b + 5c + d / 2

となります。10 ~ 1000 の位は必ず 2 で割り切れますから、末尾の数を 2 で割ったときの余りが、N を 2 で割ったときの余りとなります。つまり末尾が偶数であれば割り切れて、奇数なら余りが 1 となります。

1268 ÷ 2

は末尾が偶数なので割り切れますが、

621 ÷ 2

は末尾が奇数なので余りが 1 となります。

4 で割ります

 N を 4 で割ると

N / 4 = 250 a + 25 b + (10 c + d) / 4

となるので、末尾 2 桁を 4 で割れば余りの数がわかります。

1536 ÷ 4

は末尾の数が 36 = 4 × 9 なので割り切れます。

5 で割ります

 N を 5 で割ると

N / 5 = 200 a + 20 b + 2 c + d / 5

となるので、末尾の数を 5 で割れば余りの数を求めることができます。

746067 ÷ 5

という計算においては、末尾の 7 に着目して 2 が余りとなります。

8 で割ります

 N を 8 で割ると

N / 8 = 125 a + (100 b + 10 c + d) / 8

となるので、余りを求めるには末尾 3 桁の数を使う必要があります。

463129 ÷ 8

の余りを求めたいときは 129 を 8 で割って確かめます。

129 ÷ 8 = (80 + 49) ÷ 8 = 16 + 1 / 8

ですから、余りは 1 となります。

25 で割ります

 25 で割る場合も簡単です。

N / 25 = 40 a + 4 b + (10 c + d) /25

ですから、末尾 2 桁で判断すればよいことになります。

15850 ÷ 25

は末尾の数が 50 = 2 × 25 なので割り切れます。
とりあえず、ここで問題を解いてみましょう(記事はまだ続きます)。

問題① 次の割り算の余りを求めてください

(1) 5213 ÷ 2  (2) 2222 ÷ 4  (3) 6370 ÷ 5  (4) 105634 ÷ 8

解答①

(1) 末尾 3 が奇数なので、余りは 1

(2) 末尾 22 を 4 で割って、余りは 2

(3) 末尾が 0 なので、余りは 0 (割り切れます)

(4) 末尾 634 を 8 で割ればよいのですが、

634 ÷ 8 = 317 ÷ 4

となるので 4 で割る場合の判定法を使います。

17 ÷ 4 = 4 × 4 + 1

ですから、余りは 1 となります。
 

3 の倍数で割ったときの余りの求め方(各桁の数字を全て足します)

 次は 3 の倍数で割ったときの余りの求め方を紹介します。
 先程と同じように 4 桁の数を

N = 1000 a + 100 b + 10 c + d

とおきますが、今回はもう少し変形してみます:

N = (999 + 1) a + (99 + 1) b + (9 + 1) c + d
 = 999 a + 99 b + 9 c + a + b + c + d

3 で割ります

 N を 3 で割ると

N / 3 = 333 a + 33 b + 3 c + (a + b + c + d) / 3

となるので、各桁の数字を全て足して 3 で割ったときの余りが、 N を 3 で割ったときの余りとなります。全ての桁の数字の足し合わせた数のことを 数字和 と呼びます。以下、数字和を s という記号で表すことにします。

16461 ÷ 3

について、割られる数の数字和をとると

s = 1 + 6 + 4 + 6 + 1 = 18

ですから余りは 0 、つまり割り切れます。

27956 ÷ 3

については s = 29 ですから、余りは 2 です。

9 で割ります

 N を 9 で割ると

N / 9 = 111 a + 11 b + 11 c + (a + b + c + d) / 9

となるので、やはり数字和 s を 9 で割ったときの余りと、N を 9 で割ったときの余りは等しくなります。たとえば

24597 ÷ 9

では s = 27 ですから、余りは 0 です(割り切れます)。

6, 12, 18, ... で割ります

 6, 12, 18 などで割る場合、数字和で余りを求めることはできませんが、割り切れるかどうかは簡単に判定できます。ある数 N が異なる数 a でも b でも割り切れるとき、

N = k a b   ( N, k, a, b:自然数)

と書けますから、 N は a b でも割り切れます。たとえば

5238

という数は s = 18 なので 3 で割り切れます。また、末尾の数が 8 ですから、 2 で割り切れます。よって 5238 は 6 で割り切れることがわかります。

8136

は s = 18 なので 3 で割り切れます。また、末尾 2 桁の 36 を見て 4 で割り切れることがわかります。したがって 8136 は 4 × 3 = 12で割り切れます。

8156286

は s = 36 ですから 9 で割り切れます。末尾の数 6 は 2 で割り切れます。したがって 8156286 は 9 × 2 = 18 で割り切れると判定できます。
 

問題② 次の割り算の余りを求めてください

(1) 239257 ÷ 3  (2) 173058 ÷ 3  (3) 49068 ÷ 9  (4) 56282 ÷ 9
 

解答②

(1) s = 28 = 9 × 3 + 1 なので 余りは 1
(2) s = 24 = 8 × 3 なので 余りは 0 (割り切れます)
(3) s = 27 = 9 × 3 なので 余りは 0 (割り切れます)
(4) s = 23 = 2 × 9 + 5 なので 余りは 5

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