両端で正の無限大となる関数

両端で正の無限大となる関数

 今回は xa とガンマ関数を掛け合わせた
 
\[y=x^a \Gamma (x) \qquad (a \leq 0)\]
という関数を扱います。さっそくグラフを描いてみましょう。

 

 赤色の線 (a = 0.0) がガンマ関数です。
 ガンマ関数は Γ(1) = 1 で最小値をとり、x → 0, +∞ の両端で正の無限大となる関数です。この関数に xa をかけると(つまり x|a| で割ると)谷の部分が少しずつ広がってゆきます。
 

y = xa Γ(x) cosx

 三角関数 cosx を乗じて
 
\[y=x^a \Gamma (x) \cos x \qquad (a \leq 0)\]
という関数を作ってみます。

 

 範囲を 0 ≦ x ≦ 6 に限定して描いていますが、3π/2 を超えると途轍もなく大きな振幅で振動します。π/2 と 3π/2 の間に最初の極小値が存在しますが、 a の値が小さくなるにしたがって谷は浅くなっていきます。
 

y = xa Γ(1/x)

 Γ関数の変数を x → 1/x のように変換して
 
\[y=x^a \Gamma (1/x) \qquad (a \leq 0)\]
という関数のグラフを描いてみます。

 

 x ≧ 1 における Γ(1/x) の増加率はかなり緩いので、今度は a の値によっては減少関数になることさえあります。
 

y = xa Γ(1/x) cosx

 上の関数に cosx をかけて
 
\[y=x^a \Gamma (1/x) \cos x \qquad (a \leq 0)\]
という関数を解析してみましょう。

 

 a = 0(赤色)すなわち y = Γ(1/x) cosx はかなり早く振幅を増大させていきますが、 a = -0.5(青色)では一転して穏やかな関数になります。 a = -1.0(緑色)は辛うじて振幅を増大させますが、 a = -1.5(黄色)は減衰振動関数です。

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