x を対数関数で割ります/対数関数の平方に f(x) を乗じます

f(x) = x/logx

 x を logx で割った関数を扱います。
 分母が logx ですから、定義される範囲は x > 0 かつ x ≠ 1 です。
 今回はいきなりグラフから見てみましょう:

 x(d)logx

 x = e で極小値をとることを f を微分して確認してみましょう。
 
\[f'(x)=\frac{logx-1}{(logx)^{2}}\]
ですから、f'(x) = 0 とおくと x = e となります。
 f'(2) < 0, f'(3) > 0 ですから、f(e) = e は極小値です。

 f(x) は分母が logx ですから、x = 1 付近の取り扱いに注意が必要です。
 logx は x = 1 を境に符号が入れ替わることに注意して
 
\[\lim_{x\rightarrow 1+0}logx=+0,\;\; \lim_{x\rightarrow 1-0}logx=-0\]
となりますから、
 
\[\lim_{x\rightarrow 1+0}f(x)=+\infty ,\;\; \lim_{x\rightarrow 1-0}f(x)=-\infty \]
すなわち漸近線 x = 1 の付近で正負に発散します。
 

f(x) = xsinx/logx

 先ほどの関数に sinx を掛けて振動させます。

 xsinx(d)logx

 それほど複雑な関数ではなさそうですが、この程度であっても手計算で極値を求めることはすでに困難です。試しに微分してみると、
 
\[f'(x)=\frac{(sinx+xcosx)logx-sinx}{(logx)^{2}}\]
となり、f'(x) = 0 とおいて、

(sinx + xcosx)logx - sinx = 0

という方程式を解かなくてはなりません。どういじってみても、これはちょっと無理です。ちなみに Excel は

f(4.80) = - 3.048, f(7.85) = 3.810, f(11.05) = - 4.593

という極値を出力しています。
 

対数関数の平方

 次は対数関数の平方に色々な関数 f(x) を乗じてみます。
 まずは基本となる y = (logx)2 のグラフを描いてみます。

 対数関数の2乗グラフ

 y = logx が負となる部分 (x < 1) が正になり、x = 1 で極小値となっています。
 念のために微分して確認しておきましょう。

y' = 2logx /x = 0

より logx = 0 となる点、すなわち x = 1 で極値をとりますね。次は cosx を乗じて

y = (logx)2cosx

という関数を作ってみます。

 対数2乗×三角グラフ

 0 < x < 4 のあたりでやや複雑な挙動を見せますが、4 < x からは増幅振動関数となっています。導出は省略しますが、極値を決定する方程式は

x logx tanx = 2

というかなり複雑な形をしています(数値計算でないと解けません)。

 続いて y = (logx)2 に√x を掛けて

y = (logx)2√x

という関数を作ってみます。

 対数2乗×無理関数グラフ

 x = 0 で √x = 0 ですから、原点で急激に立ち上がり、また急速に減衰して極小値を形成します。立ち上がりの様子を知りたいので、原点付近を拡大してみます。

 対数2乗×無理関数(拡大)グラフ

 x = 0.02 付近に極大値がありますね。
 実際に y を微分して y' = 0 とおくと

logx (logx + 4) = 0

という方程式が得られます。logx = 0 すなわち x = 1 は極小値を与える x であり、今調べている極大値は logx = 4 すなわち

x = exp(-4) = 0.01832

という極めて原点に近い値となります。

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