(x - p)2 = c

 前回は方程式の左辺が因数分解できる場合を扱いましたが、そこまできれいに因数分解できなくても、たとえば

(x - p)2 = c  (c ≧ 0)   [1]

という形にすることができれば、

x - p = ±√c

となりますから、

x = p ±√c

というように解を求めることができます。 [1] の左辺を展開すると

x2 - 2 p x + p2 = c

両辺から c を引いて

x2 - 2 p x + p2 - c = 0   [2]

という形の方程式を解いていたことになります。つまり左辺において適当な 正の値 c 引いた形で前回と同じような形の 3 つの項を作ることができるのなら、c は右辺に移項し、左辺は因数分解して、その方程式を解くことができます。実は [2] は教科書などでは、「解の公式」とよばれる公式で解くような種類の方程式なのですが、「解の公式」を使うのはかなり面倒くさいので、それは最後の手段ぐらいに考えて、別の手段で解ける場合はそちらを選択しましょう。
 

練習してみましょう

 それでは具体例で練習してみましょう。

x2 - 2 x - 4 = 0   [3]

 第 2 項の係数が -1・2 となっていることに着目して、(x - 1)2 を計算します。

(x - 1)2 = x2 - 2 x + 1

 したがって [3] の左辺はこの式より 5 だけ値が小さいので

(x - 1)2 - 5 = 0

と書くことができますね。よって

(x - 1)2 = 5

となって

x - 1 = ±√5  ∴ x = 1 ± √5

というように無理数を含む解を得ることができます。以上の手順は計算を繰り返しているうちに暗算でもできるようになります。

問題 次の方程式を解いてください

(1) x2 - 4 x - 4 = 0
(2) x2 - 6 x + 4 = 0
(3) x2 + 10 x + 23 = 0

問題の解答

(1) (x - 2)2 = x2 - 4 x + 4 ですから、与えられた方程式は

(x - 2)2 - 8 = 0

と書き直せます。よって

x - 2 = ± 2√2  ∴ x = 2 ± 2√2

(2) (x - 3)2 = x2 - 6 x + 9 なので、与えられた方程式は

(x - 3)2 - 5 = 0

と書き直すことができます。よって

x - 3 = ± √5  ∴ x = 3 ± √5

(3) (x + 5)2 = x2 + 10 x + 25 なので、与えられた方程式は

(x + 5)2 - 2 = 0

と書くことができます。したがって

x + 5 = ± √2  ∴ x = - 5 ± √2

 ⇒ 演習問題にチャレンジしてみましょう!(けっこう難しいです)

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