x sin(1/x) の極限値

[問題 CL-05] x sin(1/x) の極限値

 次の極限値を求めてください。

 \(\displaystyle (1)\;\lim_{x\rightarrow \infty}x\sin \frac{1}{x} \qquad (2)\;\lim_{x\rightarrow 0}x\sin \frac{1}{x}\)

問題 CL-05 のヒント

 有名な問題ですので、もしかすると教科書にも載っていたりするかもしれません。三角関数に関する極限公式は必須です。 (2) は「○○○○○ の原理」に持ち込む必要があります。

小・中・高の計算がまるごとできる

中古価格
¥1,330から
(2017/9/2 14:47時点)

問題 CL-05 の解答

(1) 1/x=t とおくと、x → ∞ のとき t → 0 となるので、最後に sinx/x についての極限公式を使うと
 
\[\lim_{x\rightarrow \infty}x\sin \frac{1}{x}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}=1\]
となります。

(2) 三角関数の基本性質として、任意の実数 x に対して
 
\[0 \leq \left| \,\sin \frac{1}{x} \right| \leq 1\]
が成り立ちます。両辺に |x| をかけると、
 
\[0 \leq \left| \,x\sin \frac{1}{x} \right| \leq |x|\]
が成り立ちます。はさみ打ちの原理によって
 
\[0 \leq \lim_{x\rightarrow 0} \left|\, x\sin \frac{1}{x} \right| \leq \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\]
となるので、
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}x\sin \frac{1}{x}=0\]
となります。

 ≫ [問題06] 頂点 P の極限の位置 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください