3 元 3 次連立方程式を解いて x, y, z を求めます

[問題 AG-24] 3 元 3 次連立方程式

 次の方程式を解いて x, y, z を求めてください。
\[\begin{align*}x+y+z=&\:3\\[6pt]
x^2+y^2+z^2=&\:35\\[6pt]
x^3+y^3+z^3=&\:99\end{align*}\] ただし x < y < z とします。

問題 AG-24 のヒント

 解と係数の関係 を使うと楽です。

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[内容:幾何学 Geometry は「地面を測量する」という意味のギリシア語に由来します/正多面体で一番球に近いものは正二十面体です。これを各面が五角形になるようにカットするとサッカーボールになるのです/虚数は数学世界だけに登場する仮想的な数字ではなく、たとえば宇宙の始まりには虚数時間なるものがあったとするホーキングの説があります]

問題 AG-24 の解答

 いずれにしろ最高次数が 3 ですから、最終的には3次方程式を解くことになるはずです。そこで3次方程式の解と係数の関係を用いるために
 
\[x+y+z,\quad xy+yz+zx,\quad xyz\]
の値が必要となります。 x + y + z はすでに与えられています。式をじっと見つめると、1つめの式の平方から x2 + y2 + z2 (問題文の条件より定数になります) と xy + yz + zx の形をひっぱり出せることは予測できるので、まずはここから手をつけてみましょう。
 
\[(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\]
と展開できるので、 x2 + y2 + z2 = 35 を代入して
 
\[xy+yz+zx=-13\]
を得ることができます。残るは xyz ですが、これを問題文の式から出すことは面倒なので、それはもう未知数のままにして、この段階で思いきって xyz = k とおいて、解と係数の関係から3次方程式をつくってしまいましょう。
 
\[t^3-3t^2-13t-k=0\]
となりますね(忘れた人はここで公式を確認してくださいね ...... なんて偉そうなことを言いながら、私も度忘れしてたけど)。 x, y, z がこの方程式をみたすので、
 
\[\begin{align*}x^3-3x^2-13x-k=&\:0\\[6pt]
y^3-3y^2-13y-k=&\:0\\[6pt]
z^3-3z^2-13z-k=&\:0\end{align*}\]
が成立します(当たり前です)。何でわざわざこんな式を3つも作ったのかというと、この3式を辺々足し合わせると x, y, z が全て消えてしまうからです! すごいですね。これはちょっとしたテクニックなので覚えておいて損はありません。それでは足してみましょう。
 
\[(x^3+y^3+z^3)-3(x^2+y^2+z^2)-13(x+y+z)-3k=0\]
 これに与えられた方程式
 
\[\begin{align*}x+y+z=&\:3\\[6pt]
x^2+y^2+z^2=&\:35\\[6pt]x^3+y^3+z^3=&\:99\end{align*}\]
を代入すると x, y, z は消えて k = -15 を得ます。したがって x, y, z は3次方程式
 
\[t^3-3t^2-13t+15=0\]
の解であることが判明しました。 t = 1 が解であることは明らかなので、t-1 で割り算して
 
\[\begin{align*}&(t-1)(t^2-2t-15)=0\\[6pt]
&(t-1)(t-5)(t+3)=0\end{align*}\]
 したがって t = 1, 5, -3 が解となりますが、 x < y < z という条件があるので、
 
\[(x,y,z)=(-3,1,5)\]
というように x, y, z は1つに決まるのです。

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