約数の和を求めます

[問題 NT-08] 約数の和を求めます

(1) 2 桁の整数のうち、約数が 8 個あるものを全て求めてください。

(2) (1) で求めた整数の中で最大の数について約数の和を求めてください。

問題 NT-08 のヒント

 約数が 8 個ある整数をどのような形で表すか ...... 定石を知らないとかなりの難問です。たとえば 12 の約数がいくつあるか考えてみます。

12 = 22・3

と素因数分解できますので、その約数の和 S(12) は

S(12) = (1 + 2 + 22)(1 + 3)

と書くことができ、この式を展開した各項が約数となります。すなわち約数の個数は

T(12) = 3 × 2 = 6

です。一般にある数 N が

N = pa qb rc ...

というように分解されるとき、その約数の個数は

T(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) ...

という計算によって求めることができます。

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問題 NT-08 の解答

(1) 約数の個数が 8 = 2 × 4 ですから、求める 2 桁の整数は

N = p7

あるいは

N = p q3

の形になっているはずです。とはいえ最小素数 p = 2 でも

p7 = 128

ですから 3 桁の数になってしまって p7 は明らかに適していません。したがって p q3 の形のみを考えればよいことになります。また、 q = 4 とすると

43 = 64

も p = 2 のとき 3 桁の数になるので、q ≦ 3 です。すなわち、

q = 2, 3

に限定されて、

N = 8 p, 27 p

が求める整数の形になります。

 まず 8 p 型について p = 2, 3, 5, 7, 11 として

N = 16, 24, 40, 56, 88

となり、続いて 27 p 型について p = 2, 3 として

N = 54, 81

が得られます。よって 2 桁の整数のうち約数が 8 個あるものは

(16, 24, 40, 54, 56, 81, 88) の 7 個

となります。

(2) 最大の数は 88 ですから、その約数の和は

S(88) = (1 + 2 + 22 + 23)(1 + 11) = 180

となります。 ≫ [問題09] 条件に合う整数の個数を求めます ≫ 数学演習問題

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