素因数分解を用いて有理数を根号の外に出します

√ の外に数字を出します

 たとえば

\[\sqrt{N}=\sqrt{a^{2}b}\]のような形である場合、前回に学んだ積の公式を用いて

\[\sqrt{N}=\sqrt{a^{2}}\sqrt{b}=a\sqrt{b}\]と書くことができます。このように N 自身が平方数でなくても、平方数を含む積に分解できる場合は、慣例として √ の外に出しておくことになっています。いくつか例をあげてみると ......

\[\begin{align*}\sqrt{8}&=\sqrt{2^{2}2}=2\sqrt{2}\\
\sqrt{48}&=\sqrt{4^{2}3}=4\sqrt{3}\\
\sqrt{125}&=\sqrt{5^{2}5}=5\sqrt{5}\\\end{align*}\]というように計算できます。
 

素因数分解を利用します

 ただ、 √ の中の数字が大きいと、平方数を見つけることは困難です。そうした場合、以前に学んだ素因数分解を使うことになります。たとえば 735 の平方根を考えるとき、

\[735=3 \cdot 5 \cdot 7^2\]ですから、

\[\sqrt{735}=7\sqrt{15}\]と計算できます。

問題 次の数の平方根を求めてください

(1) 180  (2) 1100  (3) 10080

問題の解答

(1) 180 = 22・32・5 ですから、
\[\sqrt{180}=6\sqrt{5}\](2) 1100 = 102・11 より
\[\sqrt{1100}=10\sqrt{11}\](3) 10080 = 25・32・5・7 = 42・32・2・5・7 より
\[\sqrt{10080}=12\sqrt{70}\]

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