分母を有理化して数式を美しく整えます

有理化の基本

 たとえば \(1/\sqrt{2}\) のように、分母に無理数が含まれる場合、数学の慣例として、分母を有理数である形に直したほうがよいとされています。それには実に深い理由があるのですが、難しい話になってしまうので、ここでは触れません。ただ、美的観点からも、分母に根号があるのは確かに美しくないのです。それでは \(1/\sqrt{2}\) を変形してみましょう。やることは簡単です。分子と分母に √2 をかけて、
\[\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]となります。このような作業を 分母の有理化 とよびます。実際問題としても、 √2 = 1.414 などを使って近似値をもとめるときに、分母を有理化したおいたほうが
\[\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1.414}{2} = 0.707\]というように計算しやすいのです(有理化していない場合は 1 を 1.414 で割ることになります)。もう少し練習してみましょう。
\[\sqrt{\frac{2}{3}}\]について、分子と分母に √3 をかけると
\[\frac{\sqrt{6}}{3}\]となりますね。でも、いちいち「分子と分母に ...... 」と考えるのも手間なので、こういう簡単な場合は次の公式を覚えてしまいましょう。

\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}\]

 

複雑な分数の有理化

 もう少し複雑な例を見てみます。
 
\[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\]
 分母に 2 つも根号がありますね。初めて見たときは、どうしていいのかわからないものですが、以前に学んだ

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

という公式を思い出してください。つまり、分子と分母に √2 - √3 をかけると、有理数に変えることができるのです。
 
\[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\]
 分母がなくなって、すっきりした形になりましたね。
 これも公式を覚えてしまうと計算が楽になります。

\[\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\\
\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\end{align*}\]

問題 分母を有理化してください

\[(1)\:\sqrt{\frac{5}{3}}\:\:\:\:\:\:(2)\:\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{5}}\:\:\:\:\:\:(3)\:\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\]

問題の解答

\[\begin{align*}
(1)\:&\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}\\
(2)\:&\frac{1}{1-\sqrt{5}}=\frac{1+\sqrt{5}}{1-5}=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\\
(3)\:&\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2})^2}{1-2}=\sqrt{2}-3\\
\end{align*}\]

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