2^n=n^2の解

【NT15】2^n=n^2 の解を探します

 整数 n についての方程式 $2^n=n^2$ を解いてください。(浜松医大)

【ヒント】大昔の大学入試問題ですが、なかなか味わい深くて面白い問題です。とりあえず色々な $n$ を入れてみて、感覚を掴んでから解いてみてください。解答では $n$ が負の場合も忘れずにチェックしましょう (問題文に $n$ が正整数とはひと言も書いていませんよ)。

 本格的な解答に入る前に $n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ あたりまでの $(2^n,\ n^2)$ を調べてみると

\[(2^n,\ n^2)=(2,\ 1),\ (4,\ 4),\ (8,\ 9),\ (16,\ 16),\ (32,\ 25),\ (64,\ 36)\]
 … これで、ほとんど答えがわかってしまったような気もしますね。$2^n$ と $n^2$ は $n=2,\ 4$ で一致しています。そのあとは互いの値はどんどん離れていって近づくことはなさそうです。

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【解答】$2^n=(1+1)^n$ として二項展開に持ち込めるかどうかが解答のポイントです。
 
\[2^n=(1+1)^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}+{}_{n}\mathrm{C}_{2}\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}\]
 ${}_{n}\mathrm{C}_{n-r}={}_{n}\mathrm{C}_{r}$ の関係を使って、展開式の各項を 2 つごとにまとめます。あとで $n^2$ を含んだ不等式がほしいので、最低でも 6 個の項が現れるように、$n \geq 5$ という条件をつけます。すると
 
\[2^n=2{}_{n}\mathrm{C}_{0}+2{}_{n}\mathrm{C}_{1}+2{}_{n}\mathrm{C}_{2}+\cdots\gt 2+2n+n(n-1)=n^2+n+2\gt n^2\]
となるので、$n\geq 5$ に解がないことがわかります。そこで $n = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$ について調べると、$n = 2,\ 4$ で方程式が成り立つことがわかります。さらに $n$ が $-1$ 以下の負整数のときは
 
\[2^n\lt 1\quad n^2\gt 1\]
なので、
 
\[2^n\lt n^2\]
となって不適です。よって答えは
 
\[n=2,\ 4\]
となります。

【別解】$y=2^x$ と $y=x^2$ のグラフを描いて解くこともできます。ただし 2 つの関数は非常に接近している部分があるので慎重に描く必要があります。とりえあず $n$ を順に代入していって $n=2$ と $n=4$ が解であることを確認したあと、$n = 3$ のときに
 
\[2^3\lt 3^2\]
であるという事実から $0\leq x\leq 4$ のグラフの上下関係を定めます。実際にグラフを描いてみると下のようになります。

Excely=2^xとx^2グラフ

 $x\gt 0$ では 2 点以外で両曲線は交わりませんから他に解はないといえます。$x\lt 0$ では 1 点で交わりますが整数解ではありません。

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