2n = n2(2 項展開に持ち込みます)

[問題 NT-15] 2n = n2 を解きます

 整数 n についての方程式 2n = n2 を解いてください。(浜松医大)

問題 NT-15 のヒント

 大昔の大学入試問題ですが、なかなか味わい深くて面白い問題です。とりあえず色々な n を入れてみて、感覚を掴んでから解いてみてください。解答では n が負の場合も忘れずにチェックです!

 本格的な解答に入る前に n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 あたりまでの (2n, n2) を調べてみると

(2, 1), (4, 4), (8, 9), (16, 16), (32, 25), (64, 36)

 ...... 何だかほとんど答えがわかってしまったような気もしますね。2n と n2 は n = 2, 4 で一致しています。そのあとは互いの値はどんどん離れていって近づくことはなさそうです。

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問題 NT-15 の解答

 2n = (1 + 1)n として 2 項展開に持ち込めるかどうかが解答のポイントです。

2n = (1 + 1)n = nC0 + nC1 + nC2 + ...... + nCn

として nCn-r = nCr の関係を使います。具体的に書くと、

nCn-0 = nC0, nCn-1 = nC1, nCn-2 = nC2

が成り立っています。この関係を使って展開式の各項を 2 つごとにまとめます。あとで n2 を含んだ不等式がほしいので、最低でも 6 個の項が現れるように、n ≧ 5 という条件をつけます。すると

 2n = 2 nC0 + 2 nC1 + 2 nC2 + ......
  = 2 + 2 n + n (n - 1) = n2 + n + 2 > n2

となるので、 n ≧ 5 に解がないことがわかります。そこで n = 0, 1, 2, 3, 4 について調べると、n = 2, 4 で方程式が成り立つことがわかります。さらに n ≦ -1 のときは

2n < 1, n2 > 1  ∴ 2n < n2

となって不適です。よって答えは

n = 2, 4

となります。

[別解] y = 2x と y = x2 のグラフを描いて解くこともできます。ただし 2 つの関数は非常に接近している部分があるので慎重に描く必要があります。とりえあず n を順に代入していって 2 と 4 が解であることを確認したあと、n = 3 のときに

23 < 32

であるという事実から 0 ≦ x ≦ 4 のグラフの上下関係を定めます。グラフを描くと下のようになります。

 Excely=2^xとx^2グラフ

 x > 0 では 2 点以外で両曲線は交わりませんから、他に解はないといえます。
 x < 0 では 1 点で交わりますが整数解ではありません。

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