展開式の定数項/2項係数の平方の和

 

PS-12 展開式の定数項

 $\displaystyle\left(1+x+\frac{1}{x^2}\right)^8$ の展開式における定数項を求めてください。
 
 

外資系コンサルが実践する 図解作成の基本

PS-12 のヒント(2項定理を用います)

 2 項定理を使って展開し、$x$ の指数が $0$ となるような項の和をとります。
 多項定理を使って解くこともできます。下の解答では両方の解き方を載せます。
 ≫ 2 項定理についてはこちらを参照してください。
 

PS-12 の解答(2項定理を用います)

 2 項定理
 
\[(a+b)^n=\sum_{r=0}^n{}_n\mathrm{C}_r\:a^{n-r}\:b^{\:r}\]
において $a=1$ とおくと
 
\[(1+b)^n=\sum_{r=0}^n{}_n\mathrm{C}_r\:b^{\:r}\]
となるので、
 
\[\left(1+x+\frac{1}{x^2}\right)^8=\sum_{p=0}^8{}_8\mathrm{C}_p\,\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^p\]
と書けます。さらに $\displaystyle\left(x+\frac{1}{x^2}\right)^p$ を 2 項展開すると
 
\[\begin{align*}
\left(1+x+\frac{1}{x^2}\right)^8=&\,\sum_{p=0}^8{}_8\mathrm{C}_p\,\sum_{q=0}^p{}_p\mathrm{C}_q\,x^{p-q}x^{-2q}\\[6pt]
=&\,\sum_{p=0}^8{}_8\mathrm{C}_p\,\sum_{q=0}^p{}_p\mathrm{C}_q\,x^{p-3q}\end{align*}\]
 定数項は $p-3q=0$ となる項なので、$0\leq p\leq q\leq 8$ より
 
\[(p,\:q)=(0,\:0),\;(3,\:1),\;(6,\:2)\]
が条件を満たす組合せです。定数をすべて足し合わせると
 
\[1+{}_8\mathrm{C}_3\cdot{}_3\mathrm{C}_1+{}_8\mathrm{C}_6\cdot{}_6\mathrm{C}_2=1+168+420=589\]
となります。
 

PS-12 の別解(多項定理を用います)

 本問は多項定理を使って解くこともできます。多項定理とは、
 
\[(a+b+c+\cdots)^n\]
の展開式の各項が
 
\[\frac{n!}{p!\,q!\,r!\,\cdots\,}a^p\,b^q\,c^r\,\cdots\qquad (p+q+r+\cdots=n)\]
の形になるというもので、本問の $\displaystyle\left(1+x+\frac{1}{x^2}\right)^8$ に適用すると
 
\[\frac{8!}{p!\,q!\,r!}1^p\,x^q\,\left(\frac{1}{x^2}\right)^r=\frac{8!}{p!\,q!\,r!}x^{q-2r}\qquad (p+q+r=8)\]
となります。定数項となるのは $q-2r=0$ のときです。$p+q+r=8$ という条件と合わせて、
 
\[q=2r,\quad p+3r=8\]
を満たすような整数の組合せを見つけます。$r$ を $1,\;2,\;\cdots$ と動かして
 
\[\begin{align*}r=0,\quad p=8,\quad q=0\\[6pt]
r=1,\quad p=5,\quad q=2\\[6pt]
r=2,\quad p=2,\quad q=4\end{align*}\]

 定数項を足し合わせると
 
\[\frac{8!}{8!\,0!\,0!}+\frac{8!}{5!\,2!\,1!}+\frac{8!}{2!\,4!\,2!}=589\]
となります。 
 
 

PS-13 2項係数の平方の和

 次の等式を証明してください。
\[{}_n\mathrm{C}_0^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_1^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_2^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n^{\,2}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}\]

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PS-13 のヒント(2項係数の平方をつくるには?)

 2 項係数を平方して足し加えると、とてもきれいな形で表されるのです。
 一見すると簡単そうに見えますが、取っ掛かりが掴めないと意外と苦戦するかもしれません。2 項定理を使うのは当然として、どのように 2 項係数の平方を作り出すかがポイントになります。 ≫ 2 項定理についてはこちらを参照してください。
 

PS-13 の解答(2項定理を用います)

 2 項係数 ${}_n\mathrm{C}_r$ は $(1+x)^2$ の展開式における $x$ の係数として現れます:
 
\[(1+x)^n=\sum_{r=0}^n{}_n\mathrm{C}_r\:x^{\:r}\]
 そこで、2 項係数の平方をつくるために
 
\[(1+x)^n\,(1+x)^n\]
という式の展開を考えると、$x^n$ の係数は
 
\[{}_n\mathrm{C}_r\,x^{r}\,{}_n\mathrm{C}_{n-r}\,x^{n-r}\]
として現れてくるはずです。$r$ を $0$ から $n$ まで動かして係数をすべて足し合わせると
 
\[{}_n\mathrm{C}_0\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_n+{}_n\mathrm{C}_1\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_{n-1}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_{n-r}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_0\]
となります。${}_n\mathrm{C}_{n-r}={}_n\mathrm{C}_r$ の公式を用いると
 
\[{}_n\mathrm{C}_0^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_1^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_2^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n^{\,2}\]
となって、問題で与えられた式の左辺を得られます。次に $(1+x)^{2n}$ を 2 項展開すると、
 
\[(1+x)^{2n}=\sum_{r=0}^n{}_{2n}\mathrm{C}_r\:x^{\:r}\]
なので、$x^n$ の係数は
 
\[{}_{2n}\mathrm{C}_n=\frac{(2n)!}{n!\,n!}\]
となります。よって、
 
\[{}_n\mathrm{C}_0^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_1^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_2^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n^{\,2}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}\]
が示されました。■ ≫ [問題14] 2 個のサイコロを投げます

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