abc=a+b+c:符号に注意して丁寧に分析します

【NT01】abc=a+b+c を満たす整数

 $0$ 以外の整数 $a,\ b,\ c$ について $abc=a+b+c$ を満たす整数の組を全て求めてください。

【ヒント】『数学実験室』のほうで似たような問題を取り上げましたが、そのときは「正の整数」という条件がついていました。しかし今回はその条件も取り払ったので、かなり難易度が上がっています。符号に注意しながらの丁寧な分析が必要になります。

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【解答】対称式であることに着目して $0$ を含めた条件を設定して場合分けしていきます。
 
\[abc=a+b+c\tag{1}\]
[1] $0\lt a\leq b\leq c$、すなわち全て正の整数である場合を考えます。このとき、
 
\[abc\leq 3c\]
が成り立つので、
 
\[ab\leq 3\]
 条件を満たすのは $(a,\ b) = (1,\ 2), (1,\ 3)$ だけです。
 $(a,\ b) = (1, 3)$ のとき式 (1) より $c = 2$ となりますが、これは設定した条件に反します。$(a,\ b) = (1,\ 2)$ のときは $c = 3$ となって、
 
\[(a,\ b,\ c) = (1,\ 2,\ 3)\]
 条件を取り外して $(a,\ b,\ c)$ について並び替えをすると
 
\[(a,\ b,\ c) = (1,\ 2,\ 3),\ (1,\ 3,\ 2),\ (2,\ 1,\ 3),\ (2,\ 3,\ 1),\ (3,\ 1,\ 2),\ (3,\ 2,\ 1)\]
となります。

[2] $a\lt 0\leq b\leq c$ のとき、$a=-|a|$ とおくと、式 (1) は
 
\[-|a| b c = -|a| + b + c\]
 整理すると
 
\[(1-bc)|a| = b + c\]
 $b=c=1$ のときには上式を満たす $a$ は存在しません。
 よって $bc\neq 1$ として
 
\[|a|=\frac{b+c}{1-bc}\]
となりますが、$1\lt bc$ なので右辺は必ず負になります。絶対値が負になることはあり得ませんから、これは不合理です。よって条件[2]を満たす整数は存在しません。

[3] $a\lt b\lt 0\leq c$ のとき、$a=-|a|,\ b=-|b|$ とおくと [1] は
 
\[(1-|a||b|) c = |a| + |b|\]
 やはり $|a| = |b| = 1$ を満たす $c$ は存在しないので
 
\[c=\frac{|a|+|b|}{1-|a||b|}\]
 これもまた $1 \t |a||b|$ より右辺が負となって不合理。
 条件[3]を満たす整数も存在しません。

[4] $a\lt b\lt c\lt 0$ のとき、すなわち全ての整数が負である場合です。
$a=-|a|,\ b=-|b|,\ c=-|c|$ とおいて (1) から
 
\[|a||b||c| = |a| + |b| + |c|\]
という式が得られますが、これは条件[1]のときと同じようにして
 
\[(|a|,\ |b|,\ |c|)=(1,\ 2,\ 3)\]
が得られます。すなわち
 
\[(a,\ b,\ c)=(-1,\ -2,\ -3)\]
となります。条件を外して $a,\ b,\ c$ について並び替えると
 
\[\begin{align*}(a,\ b,\ c)=&(-1,\ -2,\ -3),\ (-1,\ -3,\ -2),\ (-2,\ -1,\ -3),\\[6pt]&(-2,\ -3,\ -1),\ (-3,\ -1,\ -2),\ (-3,\ -2,\ -1)\end{align*}\]

 以上[1]から[4]より、条件式 (1) を満たす $0$ 以外の整数は
 
\[\begin{align*}(a,\ b,\ c)=&(1,\ 2,\ 3),\ (1,\ 3,\ 2),\ (2,\ 1,\ 3),\\[6pt]&(2,\ 3,\ 1), (3,\ 1,\ 2),\ (3,\ 2,\ 1),\\[6pt]&(-1,\ -2,\ -3),\ (-1,\ -3,\ -2),\ (-2,\ -1,\ -3),\\[6pt]&(-2,\ -3,\ -1),\ (-3,\ -1,\ -2),\ (-3,\ -2,\ -1)\end{align*}\]
となります。

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