a b c = a + b + c  符号に注意しながら丁寧に分析します

[問題 NT-01] a b c = a + b + c を満たす整数

 0 以外の整数 a, b, c について

a b c = a + b + c

を満たす整数の組を全て求めてください。

問題 NT-01 のヒント

『数学実験室』のほうで似たような問題を取り上げましたが、そのときは「正の整数」という条件がついていました。しかし今回はその条件も取り払ったので、かなり難易度が上がっています。符号に注意しながらの丁寧な分析が必要になります。

無限の果てに何があるか 現代数学への招待 (角川ソフィア文庫)

問題 NT-01 の解答

 対称式であることに着目して 0 を含めた条件を設定して場合分けしていきます。

a b c = a + b + c   [*]

① 0 < a ≦ b ≦ c、すなわち全て正の整数である場合を考えます。

a b c ≦ 3 c  ∴ a b ≦ 3

 条件を満たすのは (a, b) = (1, 2), (1, 3) のみです。
 (a, b) = (1, 3) のとき [*] より c = 2 となりますが、これは設定した条件に反します。(a, b) = (1, 2) のときは c = 3 となって、

(a, b, c) = (1, 2, 3)

 条件を取り外して a, b, c について並び替えをすると

  (a, b, c) = (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),
        (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

となります。

② a < 0 ≦ b ≦ c のとき、 a = -|a| とおくと [*] は

  -|a| b c = -|a| + b + c  ⇔  (1 - b c)|a| = b + c

 b = c = 1 のとき、上式を満たす a は存在しません。よって b c ≠ 1 として

|a| = (b + c)/(1 - b c)

となりますが、 1 < b c ですから右辺は必ず負になります。
 絶対値が負になることはあり得ませんから、これは不合理です。
 よって条件②を満たす整数は存在しません。

③ a < b < 0 ≦ c のとき、 a = -|a|, b = -|b| とおくと [*] は

(1 - |a||b|) c = |a| + |b|

 やはり |a| = |b| = 1 を満たす c は存在しないので

c = (|a| + |b|)/(1 - |a||b|)

 これもまた 1 < |a||b| より右辺が負となって不合理。
 条件③を満たす整数も存在しません。

④ a < b < c < 0 のとき、すなわち全ての整数が負である場合です。
a = -|a|, b = -|b|, c = -|c| とおいて [*] から

|a||b||c| = |a| + |b| + |c|

という式が得られますが、これは条件①のときと同じようにして

(|a|, |b|, |c|) = (1, 2, 3)

が得られます。すなわち

(a, b, c) = (-1, -2, -3)

となります。条件を外して a, b, c について並び替えると

  (a, b, c) = (-1, -2, -3), (-1, -3, -2), (-2, -1, -3)
        (-2, -3, -1), (-3, -1, -2), (-3, -2, -1)

以上①から④より、[*] を満たす 0 以外の整数は

  (a, b, c) = (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),
        (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1),
        (-1, -2, -3), (-1, -3, -2), (-2, -1, -3),
        (-2, -3, -1), (-3, -1, -2), (-3, -2, -1)

となります。 ≫ [問題02] x2 -x y + 2 y2 = 7 の整数解 ≫ 数学演習問題

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