【SQ32】$a_n+S_n=2n+1$
$a_n+S_n=2n+1\ (n\geq 1)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めてください。ただし、$S_n$ は $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ で定義されるものとします。
【ヒント】数列の和と一般項の関係式を使います。
世界一わかりやすい 阪大の理系数学 合格講座 人気大学過去問シリーズ 新品価格 |  |
【解答】$n=1$ のとき、
\[a_1+S_1=3\]
$S_1=a_1$ なので、
\[2a_1=3\]
したがって、$a_1=\cfrac{3}{2}$ であることがわかります。$n\geq 2$ のとき、与えられた漸化式を
\[S_n=(2n+1)-a_n\]
とおいて、$a_n=S_n-S_{n-1}$ に代入すると、
\[a_n=(2n+1)-a_n-\{2(n+1)+1-a_{n-1}\}\]
この式を整理すると、
\[2a_n=a_{n-1}+2\tag{A1}\]
となります。この漸化式の特性方程式をつくると、
\[2x=x+2\tag{A2}\]
となります。(A1) から (A2) を引くと
\[2(a_n-x)=a_{n-1}-x\]
$x=2$ なので、
\[a_n-2=\frac{1}{2}(a_{n-1}-2)\]
数列 $\{a_n-2\}$ は初項 $a_1-2=-\cfrac{1}{2}$, 公比 $\cfrac{1}{2}$ の等比数列なので、
\[a_n-2=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\]
となり、求める一般項
\[a_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\]
が得られます。
【SQ33】$a_{n}=5a_{n-1}+5^{n}$
漸化式 $a_1=5,\quad a_n=5a_{n-1}+5^n\, (n\geq 2)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ について、次の問に答えてください。
(1) 第 $n$ 項を $n$ の式で表してください。
(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてください。
【ヒント】漸化式を上手く変形すると、等差数列の形に帰着できます。
Excelで学ぶ微分・積分?Excelで微分・積分を学習すれば、いろいろと実感を伴って理解できる 中古価格 |  |
【解答】与えられた漸化式 $a_n=5a_{n-1}+5^n$ の両辺を $5^n$ で割ります。
\[\frac{a_n}{5^n}=\frac{a_{n-1}}{5^{n-1}}+1\]
$a_n/5^n=b_n$ とおくと、
\[b_n=b_{n-1}+1\]
となります。すなわち数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_1/5=1$, 公差 $1$ の等差数列なので、
\[b_n=1+(n-1)\cdot 1=n\, (n\geq 2)\]
と表せます。したがって $a_n$ は
\[a_n=n5^n\, (n\geq 2)\]
という式で表すことができます。$n=1$ のときにも $a_1=5$ となって、この式が成立するので、
\[a_n=n5^n\, (n\geq 1)\]
となります。
(2) $S_n=a_1+a_2+a_3+\ \cdots\ +a_{n-1}+a_n$ を書き下します。
\[S_n=1\cdot 5^1+2\cdot 5^2+3\cdot 5^3+\ \cdots\ +(n-1)5^{n-1}+n5^n\tag{B1}\]
この式の両辺に $5$ を掛けると
\[5S_n=1\cdot 5^2+2\cdot 5^3+3\cdot 5^4+\ \cdots\ +(n-1)5^n+n5^{n+1}\tag{B2}\]
が得られます。(B1) から (B2) を引くと
\[\begin{align*}-4S_n&=5+5^2+5^3\ \cdots\ +5^n-n5^{n+1}\\[6pt]&=\frac{5(5^n-1)}{5-1}-n5^{n+1}=\frac{5}{4}(5^n-1-5n)\end{align*}\]
という式が得られるので、求める総和は
\[S_n=\frac{5}{16}\{(5n-1)5^n+1\}\]
となります。
【SQ34】$a_{n+1}=a_n+n^2$
漸化式 $a_1=-100,\quad a_{n+1}=a_n+n^2$ によって定義される数列 $\{a_n\}$ があります。
(1) 一般項 $a_n$ を求めてください。
(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてください。
(3) $S_n$ が最小となる $n$ の値と、そのときの $S_n$ を求めてください。
【ヒント】$a_{n+1}-a_n=f(n)$ で表される数列は階差数列とよばれ、その一般項は
\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\]
で与えられます。本問は初項に平方数 $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ ……$ を加えて作る階差数列です。
\[-100,\ -99,\ -95,\ -86,\ -70,\ ……\]
この数列は単調増加するので、どこかの項で値が負から正に転じるはずです。つまり負の項をすべて加えたときに $S_n$ は最小値をとります。
大学入試 苦手対策! データの分析 確率分布 統計的な推測 に強くなる問題集 (大学入試苦手対策!シリーズ 3) 新品価格 |  |
【解答】(1) 階差数列の公式 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$ を用いると一般項が得られます。
\[\begin{align*}a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}k^2\\[6pt]&=-100+\frac{(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}}{6}\\[6pt]&=-100+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\end{align*}\]
(2) (1) で得た $a_n$ の表式を書き直すと
\[a_n=-100+\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}\]
となるので、
\[\begin{align*}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_k\\[6pt]&=\frac{1}{3}\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2-\frac{1}{2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{6}\frac{n(n+1)}{2}\\[6pt]&=-100n+\frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}\end{align*}\]
(3) (1) で得られた一般項
\[a_n=-100+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\]
に適当な $n$ を代入して計算してみると、
\[a_6=-45,\quad a_7=-9,\quad a_8=40\]
となるので、$a_1$ から $a_7$ まで足し合わせた値が $S_n$ の最小値となります。(2) で得られた
\[S_n=-100n+\frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}\]
に $n=7$ を代入すると $S_7=-504$ が得られます。したがって、$n=7$ のときに $S_n$ は最小値 $-504$ となります。
エクセルや数学に関するコメントをお寄せください