和の表式 Sn を含む漸化式/平方数を加えてつくる数列

 

SQ-32 和の表式を含む漸化式

 $a_n+S_n=2n+1\ (n\geq 1)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めてください。
 ただし、$S_n$ は $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ で定義されるものとします。
 

SQ-32 のヒント

 数列の和と一般項の関係式を使います。

数列・漸化式 (最密講義Fシリーズ)

中古価格
¥2,357から
(2018/10/24 21:04時点)

SQ-32 の解答 ($a_n=S_n-S_{n-1}$ の関係を使います)

 $n=1$ のとき、
 
\[a_1+S_1=3\]
 $S_1=a_1$ なので、
 
\[2a_1=3\]
 したがって、$a_1=\cfrac{3}{2}$ であることがわかります。
 $n\geq 2$ のとき、与えられた漸化式を
 
\[S_n=(2n+1)-a_n\]
とおいて、$a_n=S_n-S_{n-1}$ に代入すると、
 
\[a_n=(2n+1)-a_n-\{2(n+1)+1-a_{n-1}\}\]
 この式を整理すると、
 
\[2a_n=a_{n-1}+2\tag{A1}\]
となります。この漸化式の特性方程式をつくると、
 
\[2x=x+2\tag{A2}\]
となります。(A1) から (A2) を引くと
 
\[2(a_n-x)=a_{n-1}-x\]
 $x=2$ なので、
 
\[a_n-2=\frac{1}{2}(a_{n-1}-2)\]
 数列 $\{a_n-2\}$ は初項 $a_1-2=-\cfrac{1}{2}$, 公比 $\cfrac{1}{2}$ の等比数列なので、
 
\[a_n-2=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\]
となり、求める一般項
 
\[a_n=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\]
が得られます。
 
 

SQ-33 等差数列の形に帰着します

 漸化式
\[a_1=5,\quad a_n=5a_{n-1}+5^n\, (n\geq 2)\]で定められる数列 $\{a_n\}$ について、次の問に答えてください。

(1) 第 $n$ 項を $n$ の式で表してください。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてください。
 

SQ-33 のヒント(等差数列に帰着できます)

 漸化式を上手く変形すると 等差数列の形に帰着する ことができます。

漸化式 (モノグラフ 15)

中古価格
¥92から
(2018/10/24 21:03時点)

SQ-33 の解答(両辺を 5^n で割ります)

 与えられた漸化式 $a_n=5a_{n-1}+5^n$ の両辺を $5^n$ で割ります。
 
\[\frac{a_n}{5^n}=\frac{a_{n-1}}{5^{n-1}}+1\]
 $a_n/5^n=b_n$ とおくと、
 
\[b_n=b_{n-1}+1\]
となります。すなわち数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_1/5=1$, 公差 $1$ の等差数列なので、
 
\[b_n=1+(n-1)\cdot 1=n\, (n\geq 2)\]
と表せます。したがって $a_n$ は
 
\[a_n=n5^n\, (n\geq 2)\]
という式で表すことができます。$n=1$ のときにも $a_1=5$ となって、この式が成立するので、
 
\[a_n=n5^n\, (n\geq 1)\]
となります。

(2) $S_n=a_1+a_2+a_3+\ \cdots\ +a_{n-1}+a_n$ を書き下します。
 
\[S_n=1\cdot 5^1+2\cdot 5^2+3\cdot 5^3+\ \cdots\ +(n-1)5^{n-1}+n5^n\tag{B1}\]
 この式の両辺に $5$ を掛けると
 
\[5S_n=1\cdot 5^2+2\cdot 5^3+3\cdot 5^4+\ \cdots\ +(n-1)5^n+n5^{n+1}\tag{B2}\]
が得られます。(B1) から (B2) を引くと
 
\[\begin{align*}
-4S_n&=5+5^2+5^3\ \cdots\ +5^n-n5^{n+1}\\[6pt]
&=\frac{5(5^n-1)}{5-1}-n5^{n+1}=\frac{5}{4}(5^n-1-5n)\end{align*}\]
という式が得られるので、求める総和は
 
\[S_n=\frac{5}{16}\{(5n-1)5^n+1\}\]
となります。
 
 

SQ-34 平方数を加えてつくる数列

 漸化式
\[a_1=-100,\quad a_{n+1}=a_n+n^2\]によって定義される数列 $\{a_n\}$ があります。

(1) 一般項 $a_n$ を求めてください。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてください。

(3) $S_n$ が最小となる $n$ の値と、そのときの $S_n$ を求めてください。
 

SQ-34 のヒント(正負の境目を見つけましょう)

 $a_{n+1}-a_n=f(n)$ で表される数列は階差数列とよばれ、その一般項は
 
\[a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\]
で与えられます。本問は初項に平方数 $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ ......$ を加えて作る階差数列です。
 
\[-100,\ -99,\ -95,\ -86,\ -70,\ ......\]
 この数列は単調増加するので、どこかの項で値が負から正に転じるはずです。
 つまり負の項をすべて加えたときに $S_n$ は最小値をとります。
 

SQ-34 の解答

(1) 階差数列の公式 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$ を用いると一般項が得られます。
 
\[\begin{align*}
a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}k^2\\[6pt]
&=-100+\frac{(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}}{6}\\[6pt]
&=-100+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\end{align*}\]
(2) (1) で得た $a_n$ の表式を書き直すと
 
\[a_n=-100+\frac{n^3}{3}-\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}\]
となるので、
 
\[\begin{align*}S_n&=\sum_{k=1}^{n}a_k\\[6pt]
&=\frac{1}{3}\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2-\frac{1}{2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{1}{6}\frac{n(n+1)}{2}\\[6pt]
&=-100n+\frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}\end{align*}\]
(3) (1) で得られた一般項
 
\[a_n=-100+\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\]
に適当な $n$ を代入して計算してみると、
 
\[a_6=-45,\quad a_7=-9,\quad a_8=40\]
となるので、$a_1$ から $a_7$ まで足し合わせた値が $S_n$ の最小値となります。(2) で得られた
 
\[S_n=-100n+\frac{n^2(n+1)(n-1)}{12}\]
に $n=7$ を代入すると $S_7=-504$ が得られます。したがって $n=7$ のとき、$S_n$ は最小値 $-504$ となります。

スポンサーリンク
スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください