αn / n! の極限

αn / n! は 0 に収束します

 隣り合った項の比による収束の定理
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_n} \right |<1\; \; \Rightarrow \; \; \lim_{n\rightarrow \infty }a_n=0\]
を使うと(証明は 項比による収束判定法 を参照してください)、
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\alpha ^n}{n!}=0 \tag{1}\]
という公式を導くことができます。ここに α は任意の実数です。

(1) の証明

\[a_n=\frac{\alpha ^n}{n!}\]とおくと
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\alpha}{n+1}\]なので、
\[\lim_{n\rightarrow \infty } \left | \frac{a_{n+1}}{a _n} \right |=0\]となって(隣り合った項の比が 1 より小さな値に収束するので)
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\alpha ^n}{n!}=0 \tag{1}\]が成立します。

α = e の場合

 指数 αn と比較すると階乗は非常に大きな値を返すので、αn / n! はとても収束の速い数列です。たとえば α = e とおいてグラフを図示すると ......

 指数と階乗グラフ

 n = 10 付近ですでにほぼ 0 の値をとることがわかります。
 n ⇒ 2 n に置き換えてみると

 指数と階乗②グラフ

 若干の間は αn も頑張りますが、やはり n = 20 付近でほぼ 0 になってしまいます。ここでガンマ関数の性質

Γ(n + 1) = n!

を用いて n! を Γ(x + 1) に置き換えると、直ちに連続関数

f(x) = exp(2x) / Γ(x + 1)

に拡大定義することができます。

 指数関数とΓ関数グラフ

 一般に連続関数 f(x) = ax / Γ(x) に対しても
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\alpha ^x}{\Gamma (x)}=0 \tag{2}\]
が成立します(極限をとるので Γ 関数の変数は x でも x + 1 でも構いません)。

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