Excel で描く数学関数グラフコレクション

 Excel で描いたグラフを見ながら、数学関数の性質を探ってみようというコーナーです。sinx や logx などの初等関数に始まって、ベータ関数やデルタ関数などの大学レベルの数学まで幅広く扱います。

 MOD関数を組込んだ数列
 不規則性を内包する振動数列
 疾走線(シッソイド)
 三角関数の積分で定義される関数
 正規分布関数からデルタ関数へ
 ビーティ数列をグラフにしてみます
 三角関数を係数とする 2 次方程式の解曲線
 双曲線余弦関数と2次関数
 

色々な関数の平方根

 無理関数と対数関数 √x を変数にもつ三角関数/三角関数の平方根 
 2 次関数の平方根をとります 極値の周期を調べます
 

指数関数と対数関数

 f(x) = xn exp(-x), f(x) = exp(x)/xn, f(x) = exp[x^(1/n)]
 f(x) = [exp(x) + x + 1] / [x2 + 1] 
 x の x 乗根 f(x)=x/logx, y = (logx)2 f(x) y = (1/x)logx
 

三角関数・振動関数

 三角関数を次々と足し合わせると? 三角関数を次々と掛け合わせると?
 余弦定理の意味を探ります f(x) = sinx / xa x = tan(cosθ), y = tan(sinθ)
 x = (a + cosθ)2, y = (b + sinθ)2 f(x) = (x + sinx)2 
 振幅を徐々に小さくする関数 1箇所だけ周囲と違った波があります
   

その他の関数

 ベータ関数のグラフ アステロイドを変形します
 x のべき乗*ガンマ関数 矩形波 2 つの円軌道を重ね合わせます
 無作為数を組込んだ回転行列

 
 ≫ こばとの英語ノート「こばとちゃん御一行の海水浴!」
 

どうして Excel を使うの?

 高校で数学Ⅲなどを学ばれた皆さんは「数学のグラフなら、微分して増減表を作ってグラフを描けばいいでしょ。どうしてわざわざコンピューターを持ち出すの?」と疑問に思われるかもしれません。

手計算で扱える関数はごく僅かなのです

 しかし実のところ、無数にある関数の中で手計算のみで扱える関数というのは、ほんの一握りしかありません。仮に可能だとしても、x に対応する f(x) を1つ1つ細かく計算するという、途方もない労力を要する場合がほとんどです。大学初年度に扱うガンマ関数(積分形式で表される関数)でさえ、コンピューターの力を借りずにその概形を描くことは至難の業です。
 また、cosx や sinx といった基本的な関数であっても、y = cos(1/sinx) というように、ちょっと複雑に組み合わされてしまうと、途端に扱いが難しくなります。大学入試などで出題される関数というのは、数ある関数の中から紙と鉛筆だけで扱えるような稀少な関数をわざわざ選んでいるのです。

解析学の大海原へ漕ぎ出しましょう!

 しかしコンピューターの力を借りると、僅かな労力と時間( Excel なら 10 分程度が目安です)で、およそほとんどの関数の姿を顕にしてくれます。たとえば、

f(x) = cosx sinx / Γ(x2) + logx

のような、見ただけではとても姿を想像できない関数であっても、f(x) = x2 のグラフを描くのとほとんど変わらない速さで結果を出力してくれます。
 数学(特に解析学)にコンピューターを導入すると、これまで居た狭い世界から一気に広大な海へと乗り出すような解放感を得られます。「どんな関数も自在に解析することができる」というのは、それだけで非常に知的好奇心をくすぐられるものです。そこには紙と鉛筆で解く数学とはまた別種の面白さがあります。
 コンピューター数学というと、大学などでは C++ など本格的なプログラミング言語や Mathematica など数学専門ソフトで扱うのが普通ですが、そのような技術を得るには、またそのための特別な勉強が必要ですし、実のところ、Excel や VBA に出来て C 言語で扱えないという関数はあまり思いつきません。高度なプログラミング環境が必要なのは、むしろ物理学における仮想実験などの動的シミュレーションの分野です。ただ 3 次元関数に関しては Excel は不得手で、 Mathematica など専門ソフトを利用するしかないのですが、 2 次元に限ってならば Excel で十分です。
 また Excel は普通の会社で使われているソフトですから、数学を通してその技術を身につけておくことは決して無駄にはならないはずです。

「嗅覚」を身につけましょう

 これは私自身が Excel による解析を続けて経験したことですが、膨大な種類のグラフを見続けることで、関数に対してある種の独特の「嗅覚」が身につきます。まだ描いたことのない関数を一瞬見ただけで「たぶん、こういう形だね。x → ∞ の極限ではこうなるよ」というようなことが脳内に浮かび上がってきます。そうした嗅覚を会得してから改めて数学の本を読んでみると、以前とは全く感覚が異なっていました。フーリエ級数やラプラス変換などの概念が、本当に直に手で触れているような実感を伴っているのです。これは理屈では説明しがたい感覚なので、ぜひとも皆さんにもこのコーナーの記事をたくさん読んでいただき、この「嗅覚」を身につけて受験勉強や大学の講義の理解などに役立ててもらいたいと願っています。

一緒にコンピューター数学を学びましょう!

 このサイトを訪れてくれた人は少なからず数学に興味をお持ちだと思います。理工学部の学生さんであったり、普段から数学の問題に挑戦するのが趣味という人だったりするかもしれません。この機会にぜひコンピューター数学の面白さにも気づいてもらえたら嬉しいです。

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