部分的に指数関数を抑え込みます



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 指数関数を 2 次関数で割ってみます。
 

f(x) = [exp(x) + x + 1] / [x2 + 1]

 今回のベースとなるのは次のような関数です。
 
\[f(x)=\frac{e^{x}+x+1}{x^{2}+1}\tag{1}\]
 Excel でグラフを描いてみると ......

 Excelgraphf=[exp(x)+x+1]dv(x^2+1)

 exp(x) + x + 1 は単調増加関数ですが、x2 + 1 で割ることによって1時的に抑え込んで極値を 2 つ形成しています。参考のために掲載している g(x), h(x) と f(x) は

f(x) = g(x) h(x)

という関係にあります。
 

f(x) = [exp(x) + cosx + 1] / [x2 + 1]

 分子の x を cosx に置き換えてみます:
 
\[f(x)=\frac{e^{x}+cosx+1}{x^{2}+1}\tag{2}\]
 グラフを描いてみましょう。

 Excelgraphf=[exp(x)+cosx+1]dv(x^2+1)

 今回は h(x) = cosx を参考関数として掲載しています。

f(x) = g(x)[ex + h(x) + 1]

 グラフを見てわかるように、分数関数 g(x) と三角関数 h(x) がともに exp(x) の抑え込みに寄与しています。したがって先ほどの関数より深い極値を形成することになります。
 

xn と exp(x)

 xn の次数 n がどれほど大きくても、x → ∞ では exp(x) / xn → ∞ となることは exp(x) を級数展開してみるとわかります。

\[e^{x}=1+x+\frac{1}{2!}\: x^{2}+\frac{1}{3!}\: x^{3}+\: \cdots \: +\frac{1}{n!}\: x^{n}+\: \cdots \]
 この展開式には全ての n について xn / [定数] という項が含まれますから、どのような xn で割ろうとも必ず xn + 1 以上の項が増加関数を作ることになります。厳密な証明はロピタルの定理などを用いて行うのですが、級数で考えた方が実感として掴みやすいですよね。

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