等差数列と等差級数

 ≫ 等差級数(等差数列の和)は記事後半です

等差数列 Arithmetric sequence

 初項 (first term) \(a_1\) に同じ数 \(d\) を順に足していった数列
 
\[a_1,\quad a_1+d,\quad a_1+2d,\quad a_1+3d,\: \cdots \:\]
のことを 等差数列 (arithmetric sequence) とよびます。また \(d\) は 公差 (common difference) とよばれます。 その規則性から明らかに、 \(n\) 番目の項、すなわち一般項 (general term) は

\[a_n=a_1+(n-1)\,d \tag{1}\]

と表せます。また \(m\) 番目の項は
 
\[a_m=a_1+(m-1)\,d\]
と表せるので、 \(a_n\) から \(a_m\) を差し引くと、

\[a_n-a_m=(n-m)\,d \tag{2}\]

というように、任意の2項間の関係が得られます。

初項 1, 公差 3 の等差数列

 初項 1 に順次 3 を加える数列

1, 7, 10, 13, ..., 88

の一般項は、
 
\[a_n=1+(n-1)\;3=3n-2\]
と表すことができます。またその項数は

\[3n-2=88\]
より \(n=30\) となります。
 

等差級数 Arithmetric series

 等差数列の和

\[S_n=a_1+a_2+a_3+\: \cdots \: +a_n\]
のことを 等差級数 (arithmetric series) とよび、末項を \(l\) として、次のような式で表すことができます。

\[\begin{align*}
S_n&=\frac{n(a_1+l)}{2} \tag{3} \\[6pt]
S_n&=\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)\,d\} \tag{4} \end{align*}\]

(3) (4) の証明

 等差数列の和を書き下すと
 
\[S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\: \cdots \: +(l-2s)+(l-d)+l\]
と表せます。これを逆順にして
 
\[S_n=l+(l-d)+(l-2d)+\: \cdots \: +(a_1+2d)+(a_1+d)+a_1\]
と書いて両式を足し合わせてみると、
 
\[2S_n=(a_1+l)+(a_1+l)+(a_1+l)+ \: \cdots \: +(a_1+l)\]
と同じ形の項が \(n\) 個揃うので、
 
\[S_n=\frac{n(a_1+l)}{2}\]
という表式が得られます。ここで末項 \(l\) は
 
\[l=a_1+(n-1)\,d\]
ですから、
 
\[S_n=\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)\,d\}\]
と表すこともできます。

等差級数の例

 自然数を 1 から \(n\) まで順に足し合わせると
 
\[1+2+3+\: \cdots \: +n=\frac{n(n+1)}{2}\]
となります。また奇数を 1 から \(2n-1\) まで足し合わせると
 
\[1+3+5+\: \cdots \: +2n-1=\frac{n}{2}(1+2n-1)=n^2\]
となります。偶数を 1 から \(2n\) まで足し合わせると
 
\[2+4+6+\: \cdots \: +2n=\frac{n}{2}(2+2n)=n(n+1)\]
のようになります。

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