原点に引いた接線が互いに直交するように係数を定めます

【CL04】接線が互いに直交するように係数を定めます

 2つの関数 \(f(x),\;g(x)\) が次のような性質をもつものとします。
 [1] \(f(x),\:g(x)\) は \(x=0\) において微分可能です。
 [2] \(f(0)=g(0)=0\)
 [3] \(y=f(x)\) および \(y=g(x)\) の 原点に引いた接線は互いに直交 します。
 [4] 実数 \(a,\:b,\:c\) を適当にとると
\[f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax+bf(x)}{cx+f(x)},\quad g'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax+bg(x)}{cx+g(x)}\]が成り立ちます。このような条件を全てみたすように \(a\) の値を定めてください。(東大)

【ヒント】微分がどのように定義されていたのかを思い出しましょう。

【解答】微分の定義にしたがうと、\(x=0\) における \(f(x)\) の微分係数 \(f(0)\) は
 
\[f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\]
と書くことができます。ここで [2] より \(f(0)=0\) なので
 
\[f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}\]
となります。すると性質 [4] の式は
 
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a+b\,\cfrac{f(x)}{x}}{c+\cfrac{f(x)}{x}}=\frac{a+bf'(0)}{c+f'(0)}\]
と表せます。これを \(f'(0)\) について解くと
 
\[\{f'(0)\}^2+(c-b)f'(0)-a=0\]
となります。 \(g'(0)\) についても同じようにして
 
\[\{g'(0)\}^2+(c-b)g'(0)-a=0\]
が得られるので \(f'(0),\;g'(0)\) は2次方程式
 
\[t^2+(c-b)t-a=0\]
の解ということになります。すると解と係数の関係より
 
\[f'(0)\,g'(0)=-a\]
という関係式が得られます。性質 [3] によると 原点で接線が直交する のですから、その傾きの積は \(-1\) となりますね。
 
\[f'(0)\,g'(0)=-1\]
よって \(a=1\) と定まります。

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