原点に引いた接線が互いに直交するように係数を定めます

【CL04】接線が互いに直交するような係数

２つの関数 $f(x),\;g(x)$ が次のような性質をもつものとします。
[1] $f(x),\:g(x)$ は $x=0$ において微分可能です。
[2] $f(0)=g(0)=0$
[3] $y=f(x)$ および $y=g(x)$ の原点に引いた接線は互いに直交します。
[4] 実数 $a,\:b,\:c$ を適当にとると
\[f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax+bf(x)}{cx+f(x)},\quad g'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax+bg(x)}{cx+g(x)}\]が成り立ちます。このような条件を全てみたすように $a$ の値を定めてください。（東大）
 
【ヒント】微分がどのように定義されていたのかを思い出しましょう。

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【解答】微分の定義にしたがうと、\(x=0\) における \(f(x)\) の微分係数 \(f(0)\) は
 \[f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\]
と書くことができます。ここで [2] より \(f(0)=0\) なので
 \[f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}\]
となります。すると性質 [4] の式は
 \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a+b\,\cfrac{f(x)}{x}}{c+\cfrac{f(x)}{x}}=\frac{a+bf'(0)}{c+f'(0)}\]
と表せます。これを $f'(0)$ について解くと
 \[\{f'(0)\}^2+(c-b)f'(0)-a=0\]
となります。$g'(0)$ についても同じようにして
 \[\{g'(0)\}^2+(c-b)g'(0)-a=0\]
が得られるので $f'(0),\;g'(0)$ は二次方程式
 \[t^2+(c-b)t-a=0\]
の解ということになります。すると、解と係数の関係より
 \[f'(0)\,g'(0)=-a\]
という関係式が得られます。性質 [3] によると原点で接線が直交するので、その傾きの積は $-1$ となりますね。
 \[f'(0)\,g'(0)=-1\]
よって $a=1$ と定まります。