二項係数の最大値

【NT14】二項係数の最大値

$f(r)={}_{10}\mathrm{C}_{r}\,(0\leq r\leq 10)$ を最大とする整数 $r$ と、その最大値を求めてください。
 
【ヒント】${}_{n}\mathrm{C}_{r}=\cfrac{n!}{(n-r)!r!}$ で定義されます。

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【解答】最初に $\cfrac{f(r)}{f(r-1)}$ を計算します。
 \[\frac{f(r)}{f(r-1)}=\frac{(11-r)!\: (r-1)!}{(10-r)!\:r!}=\frac{11-r}{r}\]
よって、$\cfrac{f(r)}{f(r-1)} \gt 1$となる範囲は
 \[\cfrac{11-1}{r}\gt 1\]
より、$r\lt 5.5$ となります。つまり、$0\leq r\leq 5$ の範囲で $f(r)$ は増加するので、
 \[{}_{10}\mathrm{C}_{0}\lt {}_{10}\mathrm{C}_{1}\lt {}_{10}\mathrm{C}_{2}\lt {}_{10}\mathrm{C}_{3}\lt {}_{10}\mathrm{C}_{4}\lt {}_{10}\mathrm{C}_{5}\]
となります。$5\leq r\leq 10$ の範囲では逆に $f(r)$ は減少し、
 \[{}_{10}\mathrm{C}_{5}\gt {}_{10}\mathrm{C}_{6}\gt {}_{10}\mathrm{C}_{7}\gt {}_{10}\mathrm{C}_{8}\gt {}_{10}\mathrm{C}_{9}\gt {}_{10}\mathrm{C}_{10}\]
が成立します。つまり、
 \[{}_{10}\mathrm{C}_{4}\lt {}_{10}\mathrm{C}_{5}\gt {}_{10}\mathrm{C}_{6}\]
のような関係になるので、$r=5$ のとき、$f(r)$ は最大値
 \[f(5)={}_{10}\mathrm{C}_{5}=252\]
をとります。

【補足】エクセルで描いた $f(r)={}_{10}\mathrm{C}_{r}$ のグラフを載せておきます。
 

 
中央で最大値をとり、左右に減衰していく関数となっています。