微分方程式の基本問題

[問題 DE-01] 変数分離型微分方程式 ①

 微分方程式 $y '=x(1-y)$ を解いて、解曲線を図示してください。

問題 DE-01 のヒント

 変数分離で解く基本問題です。

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問題 DE-01 の解答

 与えられた微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}=x(1-y)\]
を変数分離すると
 
\[\frac{dy}{y-1}=-xdx\]
 両辺を積分すると
 
\[\log\mid y-1\mid=-\frac{1}{2}x^2+c\]
となります( c は積分定数)。$A=\pm e^c$ とおくと
 
\[y=1\pm A\exp\left( -\frac{x^2}{2}\right)\]
という解が得られます。$e^c\gt 0$ なので $A\neq 0$ ですが、与えられた微分方程式は $y=1$ という解をもち、これは上式で $A=0$ とした解に対応するので、改めて $A$ を任意の定数とすれば、上式は全ての解を含むことになります。$A$ の符号に応じて解曲線を図示すると次のようになります。

 excel微分方程式問題の解曲線

 $y=1$ は $A\gt 0$ の解グループと、$A\lt 0$ の解グループの境界線となります。
 
 

[問題 DE-02] 変数分離型微分方程式 ②

 次の微分方程式を解いてください。

 (1) $y '=ax(1+y^2)$  (2) $y '=(p+qx)(r+sy)$

 (3) $y '=x(y-x^2+1)$  (4) $y'=y\sec ^2x$  (5) $y '=ax+by\quad (a,\:b\neq 0)$

問題 DE-02 のヒント

 $\sec x=1/\cos x$ です。(3) と (5) は変数変換して解きます。

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問題 DE-02 の解答

(1) $dy/dx=ax(1+y^2)$ を変数分離して両辺を積分すると
 
\[\int\frac{dy}{1+y^2}=\int axdx\]
となります。左辺は $\mathrm{Arctan}y$ となるので、
 
\[\mathrm{Arctan}y=\frac{a}{2}x^2+c\]
 したがって
 
\[y=\tan\left(\frac{a}{2}x^2+c\right)\]
という解が得られます。

(2) $s=0$ のときは
 
\[\frac{dy}{dx}=r(p+qx)\]
なので、
 
\[y=r\left(px+\frac{q}{2}x^2+c\right)\]
 $rc=A$ とおくと
 
\[y=r\left(px+\frac{q}{2}x^2\right)+A\]
となります。$s\neq 0$ のときは $dy/dx=(p+qx)(r+sy)$ を変数分離すると
 
\[\frac{dy}{r+sy}=p+qx\]
 両辺を積分すると
 
\[\frac{1}{s}\log\,|r+sy|=px+\frac{q}{2}x^2+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[y=-\frac{r}{s}+A\exp\left(px+\frac{q}{2}x^2\right)\]
となります。$r+sy=0$ に対応した特解 $y=-r/s$ は、$A$ を任意の定数とすれば、上の解に含めることができます。以上まとめると、与えられた微分方程式の解は
 
\[y=\begin{cases}r\left(px+\cfrac{q}{2}x^2\right)+A & (s=0)\\[6pt]
-\cfrac{r}{s}+A\exp\left(px+\cfrac{q}{2}x^2\right) & (s\neq 0)
\end{cases}\]
となります。

(3) $y '=x(y-x^2+1)$ において、$z=y-x^2+1$ とおくと
 
\[z'=x(z-2)\]
という方程式になります。変数分離して積分すると
 
\[\begin{align*}&\frac{dz}{z-2}=xdx\\[6pt]
&\log\mid z-2\mid=\frac{x^2}{2}+c\\[6pt]\end{align*}\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[z=2+A\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\]
 変数を $y=z-x^2+1$ に戻すと
 
\[y=1+x^2+A\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\]
となります。$z-2=0$ に対応する特解は $y=x^2+1$ ですが、これは上の式で $A=0$ とおいたものなので、$A$ を任意の定数とすれば、全ての解を含むことになります。

(4) $y'=\sec ^2xy$ を変数分離して
 
\[\frac{dy}{y}=\sec ^2xdx\]
 意外と忘れがちですが、$\sec ^2x$ の積分は $\tan x$ なので
 
\[\log\mid y\mid=\tan x+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[y=Ae^{\tan x}\]
となります。$y=0$ も与えられた微分方程式の特解となっていますが、上の解で $A$ を任意定数にして含めることができます。

(5) $y '=ax+by$ において $z=ax+by$ とおいて $y$ を消すと
 
\[z'=bz+a\]
という変数分離型になります。
 
\[\int\frac{dz}{bz+a}=\int dx\]
として
 
\[\begin{align*}\frac{1}{b}\log\,|bz+a|&=x+c\\[6pt]
\log\,|bz+a|&=bx+c '\end{align*}\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[bz+a=Ae^{bx}\]
 変数 $y$ を戻すと
 
\[y=-\frac{a}{b^2}-\frac{a}{b}x+Ae^{bx}\]
という解が得られます。$bz+a=0$ に対応する特解
 
\[y=-\frac{a}{b^2}-\frac{a}{b}x\]
は一般解において $A=0$ とすれば得られます。
 
 

[問題 DE-03] 色々な解があります

 $y '=k\,x^ay^b$ を解いてください ($k,\:a,\:b$ は定数)。

問題 DE-03 のヒント

 $a,\:b$ の値に応じて場合分けします。

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問題 DE-03 の解答

 与えられた微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}=kx^ay^b\tag{A}\]
を変数分離して積分した形にすると
 
\[\int\frac{dy}{y^b}=k\int x^adx\]
となります。まず左辺の積分については $b$ の値に応じて
 
\[\begin{align*}
&\int\frac{dy}{y^b}=\int\frac{dy}{y}=\log\,|y|\qquad\qquad (b=1)\\[6pt]
&\int\frac{dy}{y^b}=\int y^{-b}dy=\frac{1}{1-b}y^{1-b}\quad (b\neq 1)\end{align*}\]
と場合分けされます。右辺については $a$ の値によって
 
\[\begin{align*}&k\int x^adx=k\int\frac{dx}{x}=k\log\,|x|\quad (a=-1)\\[6pt]
&k\int x^adx=\frac{k}{1+a}x^{1+a}\qquad\qquad (a\neq -1)\end{align*}\]
と、やはり2通りに場合分けされます。したがって解には(特殊解 $y=0$ を除いて) 2 × 2 = 4 通りの組合せがあります。それぞれの場合について解を求めてみましょう。

① $a=-1,\:b=1$ のとき
 
\[\log\,|y|=k\log\,|x|+c\]
となるので、$A=\pm e^c$ とおくと
 
\[y=Ax^k\]
という解が得られます。

② $a\neq -1,\:b=1$ のとき
 
\[\log\,|y|=\frac{k}{1+a}x^{1+a}+c\]
なので、$A=\pm e^c$ とおくと
 
\[y=A\exp\left(\frac{k}{1+a}x^{1+a}\right)\]
となります。

③ $a=-1,\:b\neq 1$ のとき
 
\[\frac{1}{1-b}y^{1-b}=k\log\,|x|+c\]
 $A=c(1-b)$ とおくと
 
\[y^{1-b}=\log\,|x|^{k(1-b)}\]
となります。

④ $a=-1,\:b\neq 1$ のとき
 
\[\frac{y^{1-b}}{1-b}=\frac{k}{1+a}x^{1+a}+c\]
 $A=c(1-b)$ とおくと
 
\[y^{1-b}=k\left(\frac{1-b}{1+a}x^{1+a}\right)+A\]
となります。

 以上まとめると与えられた微分方程式の解は
 
\[\begin{cases}y=Ax^k & (a=-1,\:b=1)\\[6pt]
y=A\exp\left(\cfrac{k}{1+a}x^{1+a}\right) & (a=-1,\:b=1)\\[6pt]
y^{1-b}=\log\,|x|^{k(1-b)} & (a=-1,\:b\neq 1)\\[6pt]
y^{1-b}=k\left(\cfrac{1-b}{1+a}x^{1+a}\right)+A & (a=-1,\:b\neq 1)\end{cases}\]
となります。また $b\gt 0$ のときは $y=0$ も微分方程式の解となっています。

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