分数式が整数となるように実数 x を定めます

[問題 NT-06] 分数式が整数となる条件

 次の分数式
\[f(x)=\frac{4x}{2x^{2}+1}\]が整数となるような実数 x を求めてください。

問題 NT-06 のヒント

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問題 NT-06 の解答

 n を整数として f(x) = n とおくと次のような 2 次方程式が得られます。

2 n x2 - 4 x + n = 0   [1]

 x は実数であるという条件があるので、判別式 D/4 ≧ 0 です:

D/4 = 4 - 2 n2 ≧ 0  ∴ n ≦ 2

 n は整数ですから、

n = -1, 0, 1   [2]

となります。n を含んだ形で [1] の解を表すと
 
\[x=\frac{2\pm \sqrt{4-2n^{2}})}{2n}\]
ですから、これに n = -1, 0, 1 の値を入れると

x = -1 ± √2, 0, 1 ± √2

という 5 つの解が得られます。 ≫ [問題07] 不等式で絞り込みます ≫ 数学演習問題

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