割り切れたり、割り切れなかったり ......

[問題 NT-19] 割り切れたり、割り切れなかったり ......

 2 桁の自然数 a, b (a > b) があります。 a は 6 で割り切れますが、a2 は 8 で割り切れません。また、b は 13 で割り切れ、a b は 40 で割り切れることもわかっています。このような条件を全てみたす a と b を求めてください。(平成 22 年度公務員地方上級試験問題 1部改)

問題 NT-19 のヒント

 基本問題ですけど、条件を上手く当てはめないと意外と苦労するかもしれません。割り切れたり割り切れなかったりするという情報が与えられたときは、とりあえず素因数分解で探ってみるのが常道です。

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問題 NT-19 の解答

 a は 6 で割り切れるので、2 と 3 の素因数を少なくとも 1 つずつはもっているはずですから、正の整数 m を用いて

a = 2p・3q・m

のような形で表せるはずです。すると a2

a2 = 22p・32q・m2

となります。ところが a2 は 8 で割り切れませんから、 a2 がもつ素因数は 3 個以下、つまり p = 1 でなければなりません。よって

a = 2・3q・m

という形になります。次に b をかけて

a b = 2・3q・m・b

とおき、 a b が 40 で割り切れる条件を考えます。

40 = 23・5

ですから、 b は素因数 2 を少なくとも 2 つはもっていることになります。また b 自身は 13 を約数にもちますから、 n を正の整数として

b = 22・13・n = 52 n

と書けます。しかし n ≧ 2 では 2 桁を超えてしまうので、n = 1 と決まり、

b = 52

であることがわかりました。 b は素因数 5 をもっていないので、a b が 40 で割り切れるためには a が素因数 5 をもたなくてはなりません。

a = 2・3q・5・k

 あとは場合分けで q と k について調べます。

(ⅰ) q = 1 のとき、 a = 30 k
  b < a < 99 であることを考えると k = 2 なので a = 60
  しかし a2 = 3600 が 8 で割り切れるので条件に合いません。

(ⅱ) q = 2 のとき、 a = 90 k
  b < a < 99 であることを考えると k = 1 なので a = 90
  a2 = 8100 は 8 で割り切れないので条件をみたします。

 以上より、a = 90, b = 52 が正解です!  ≫ [問題20] 友愛数 ≫ 数学演習問題

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