【ChatGPT】数学問題の解答・作成能力

今話題のChatGPT。とても面白いですね。私もドハマりして、気づくと何時間も ChatGPT と対話してました。ChatGPT は OpenAI が開発した大規模言語モデルで、会話生成、文章要約、翻訳、質問応答など、主にテキスト処理に活躍する人工知能ですが数学の問題も解けるという噂を聞いた（見た）ので、実際にいくつかの問題を解かせてみました。

ChatGPT が数学の問題に挑戦します

[K] は記事本文 (KOBATO の頭文字)、[Q] は質問、[ChatGPT] は ChatGPT からの回答です。

ChatGPT が三次方程式を解きます

[K] まずは初歩的な問題を解いてもらいましょう。

[Q] 因数定理を用いて、三次方程式 x^3 – 6*x^2 + 3*x +10 = 0 を解いてください。

[ChatGPT] まず、因数定理を使用して、方程式の根のうちの一つを見つけることができます。方程式の最初の項はxの3乗であるため、可能な根はx = 1、x = -1、x = 2、x = -2、x = 5、x = -5のいずれかであることがわかります。x = 1を代入して、方程式を評価すると、左辺は0になります。したがって、x = 1は方程式の解であることがわかります。次に、因数定理を使用して、方程式を (x-1) と (ax^2 + bx + c) の積に分解できます。すると、

(x^3 – 6x^2 + 3x + 10) ÷ (x-1) = x^2 – 5x – 5

となります。ここで、残りの二次方程式 x^2 – 5x – 5 = 0 を解くことができます。これは、解の公式を使用して以下のようになります。

x = (5 ± √45) / 2

したがって、方程式 x^3 – 6x^2 + 3x + 10 = 0 の解は、x = 1、x = (5 + √45) / 2、x = (5 – √45) / 2 となります。

[K] いきなり間違えてます。x = 1 を左辺に代入しても 0 にならないし。正直「え？　こんな初歩的な問題を間違えちゃうの？」と思いましたが、気を取り直して会話を続けました。

[Q] 間違ってます。x^3 – 6*x^2 + 3*x +10 = 0 の左辺に 1 を代入しても 0 にはなりません。

[ChatGPT] おっしゃる通りでした。失礼いたしました。では、他の可能な根を試してみます。最初にx=1を試しましたが、次にx=-1を試すことにします。すると、x=-1を代入して計算すると、左辺は0になります。したがって、x=-1は方程式の解であることがわかります。次に、因数定理を使用して、方程式を (x+1) と (ax^2 + bx + c) の積に分解できます。すると、

(x^3 – 6x^2 + 3x + 10) ÷ (x+1) = x^2 – 7x + 10

となります。ここで、残りの二次方程式 x^2 – 7x + 10 = 0 を解くことができます。これは、因数分解をして以下のようになります。

(x-5)(x-2) = 0

したがって、方程式 x^3 – 6x^2 + 3x + 10 = 0 の解は、x = -1、x = 2、x = 5 となります。

[K] ヒントを出すと、いちおう正しい答えを出してくれました。ChatGPT から正しい情報を引き出すには、コツがいるようです。

ChatGPTが微分・積分します

次は簡単な微分を解いてもらいましょう。

[Q] y = sin(x) * cos(x) を微分してください。

[ChatGPT] y = sin(x) * cos(x) の両辺をxで微分すると、

dy/dx = d/dx (sin(x) * cos(x))

右辺の積の微分公式を適用すると、以下のようになります。

d/dx (sin(x) * cos(x)) = (cos(x) * cos(x)) – (sin(x) * sin(x))

これを展開すると、

d/dx (sin(x) * cos(x)) = cos^2(x) – sin^2(x)

よって、元の式に代入すると、以下のようになります。

dy/dx = cos^2(x) – sin^2(x)

したがって、y = sin(x) * cos(x) の微分は、dy/dx = cos^2(x) – sin^2(x) となります。

[K] 答えは合っていますが、出だしの「両辺をxで微分すると…」とかいらないし、全体的に冗長だし。

[Q] y = (2 * x + 3) / (x^2 + 3*x – 5) を積分してください。

[ChatGPT] y = (2 * x + 3) / (x^2 + 3*x – 5) を積分するには、部分分数分解を行います。まず、分母を因数分解します。

x^2 + 3*x – 5 = (x – 1)(x + 5)

よって、

y = (2 * x + 3) / (x^2 + 3*x – 5) = A / (x – 1) + B / (x + 5)

という形に分解できます。ここで、A, B は定数です。分解した式を元の式に戻すために、両辺に (x – 1)(x + 5) を掛けて、

2x + 3 = A(x + 5) + B(x – 1)

となります。これを x について整理すると、

(2 – A + B)x + (5A – B) = 0

となります。ここで、左辺と右辺が等しくなるためには、係数がそれぞれ等しくなければならないので、

2 – A + B = 0
5A – B = 0

という連立方程式が得られます。これを解くと、

A = 1
B = 3

となります。したがって、

y = (2 * x + 3) / (x^2 + 3*x – 5) = 1 / (x – 1) + 3 / (x + 5)

となります。これらの分数をそれぞれ積分すると、

∫ (1 / (x – 1)) dx = ln |x – 1| + C1
∫ (3 / (x + 5)) dx = 3 ln |x + 5| + C2

となります。C1, C2 は積分定数です。よって、元の式の積分は、

∫ y dx = ln |x – 1| + 3 ln |x + 5| + C

となります。

[K] 頑張って長い解答を書いてますが…不正解です。ちなみに正解は log|x^2 + 3*x – 5| + C です。積分公式 ∫{f'(x)/f(x)}dx = log|f(x)| を単純に当てはめるだけの問題なのですが … 分数関数の積分は部分分数分解するというセオリーを、何も考えずに当てはめてしまっていますね。ていうか、出だしの分母の因数分解の段階で間違えてるし。

ChatGPTが因数分解します

[K] なんか嫌な予感がするけど、ChatGPT に簡単な因数分解をしてもらうことにしました。

[Q] x^2+6*x-27を因数分解してください。

[ChatGPT] x^2+6*x-27を因数分解するには、2つの数の積が-27であり、その和が+6であるような2つの数を見つければよいです。まず、因数分解の答えを(x+a)(x+b)と仮定します。すると、

x^2 + 6x – 27 = (x+a)(x+b)

となります。ここで、aとbの値を求めるために、2次方程式としてxについて解いてみましょう。

x^2 + 6x – 27 = (x+a)(x+b)
x^2 + (a+b)x + ab = x^2 + 6x – 27

ここで、x^2の項やxの項を比較すると、

a + b = 6
ab = -27

という2つの方程式が得られます。次に、これらの方程式を解いてaとbの値を求めます。まず、ab = -27より、aとbは異符号である必要があります。また、aとbの差は6であるため、差が最小となるようにaとbを求めると、a=-9, b=3となります。よって、x^2+6x-27を因数分解すると、

x^2+6x-27 = (x-9)(x+3)

となります。

[K] うう…ダメですね。正解は (x+9)(x-3) です…符号が反対になってる…ちょっと疲れてきたかも…いえ、もう少し頑張りますよ。

ChatGPTが算数の問題を解きます

[K] ちょっと目先を変えて、算数の問題を解いてもらいましょう。これはもう間違えようがない、という基本中の基本問題です。

[Q] 底辺が13cm、高さが7cmの三角形の面積を求めてください。

[ChatGPT] 底辺が13cm、高さが7cmの三角形の面積Sは、次の公式を使って求めることができます。

S = (1/2) × 底辺 × 高さ

底辺が13cm、高さが7cmなので、これを公式に代入して計算すると、

S = (1/2) × 13cm × 7cm = 45.5cm^2

となります。よって、この三角形の面積は、45.5平方センチメートルです。

[K] よかった。ほっとしましたよ。じゃあ、次の問題。

[Q] 時速40kmで走る田中さんの車の後方100kmから、時速65kmで走る鈴木さんの車が追いかけます。鈴木さんの車が田中さんの車に追いつくのは何時間後ですか？

[ChatGPT] 鈴木さんの車が田中さんの車に追いつくまでの時間を求めるには、以下の式を使用します。

時間 = 距離 ÷ 速度

田中さんの車と鈴木さんの車の距離は、追いかけ始めた時点で100キロメートルです。鈴木さんの車の速度は時速65キロメートルであり、田中さんの車の速度は時速40キロメートルです。したがって、鈴木さんの車が田中さんの車に追いつくまでの時間は、以下のようになります。

時間 = 100 ÷ (65 – 40) = 100 ÷ 25 = 4

よって、鈴木さんの車が田中さんの車に追いつくのは、4時間後です。

[K] おお！　完璧です！　こういう答えを待っていたんですよ！

ChatGPTに数学の問題を作ってもらいます

[K] 最後に、ChatGPT に数学の問題を作成してもらいましょう。どんな問題ができるか、楽しみです。

[Q] 中学生に解けるような代数の問題をつくってください。

[ChatGPT] 以下は中学生に解けるような代数の問題です：

問題：x を未知数とするとき、2x + 5 = 13となるxの値を求めてください。
ヒント：等式の両辺から同じ数を引くことによって、未知数 x の値を求めることができます。

[K] おお！　簡単だけど、まともな問題を作りましたよ。

[Q] 上の問題を解いてください。

[ChatGPT] はい、問題を解きます。与えられた問題により、2x + 5 = 13となる x の値を求める必要があります。まず、等式の両辺から 5 を引くことによって、2x = 8となります。次に、両辺を2で割ることによって、x = 4 となります。したがって、未知数 x の値は 4 です。

[K] 解答も完璧です。次は高校生向けの問題を作成してもらいましょう。

[Q] 高校生に解けるような微積の問題を作成してください。

[ChatGPT] 以下は高校生に解けるような微積の問題です：

問題：関数f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 1の導関数f'(x)を求めてください。　
ヒント：導関数を求めるためには、微分の公式を使用する必要があります。また、x^nの導関数は、n・x^(n-1)となることを覚えておくと役立ちます。

[Q] 上の問題を解いてください。

[ChatGPT] はい、問題を解きます。与えられた問題により、関数f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 1の導関数f'(x)を求める必要があります。微分の公式によると、x^nの導関数はn・x^(n-1)となるため、f(x)の各項の導関数を求め、それらを足し合わせることでf'(x)を求めることができます。

f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 1
f'(x) = 3x^2 – 4x + 1

よって、関数f(x)の導関数f'(x)は、f'(x) = 3x^2 – 4x + 1となります。

[K] いいですね！　近い将来、AI が入試問題を作成してくれるようになるかもしれませんね！　最後に、ChatGPT さんにこんな質問をしてみました。

[Q] 数学とは何ですか？　大学生向けに教えてください。

[ChatGPT] 数学とは現象や物理法則、理論的な概念を数式や論理的に表現し、それらを体系的に扱う学問です。数学には、様々な分野があります。代表的なものに、算術、代数、幾何、微積分、確率統計、論理学、集合論、位相幾何、群論、微分方程式、数論などがあります。これらの分野は、相互に関連しており、一つの分野から他の分野への応用が可能なことが多いです。

数学は、その高度な抽象性から、科学や技術分野での応用が広くあります。例えば、物理学や工学、情報科学、経済学、金融工学、医療工学、暗号理論、人工知能、最適化などの分野で、数学的手法や理論が必要とされています。また、最近ではデータサイエンスや人工知能の分野でも、数学的手法や理論が求められています。

数学の研究は未解決の問題を解決することを目指すものが多いです。これらの問題には、「フェルマーの最終定理」や「ポアンカレ予想」など、極めて難解なものもありますが、その解決によって、数学自体の深い理解や、数学的手法の発展につながることが期待されています。ただし、数学はその抽象性ゆえに、初学者にとっては難解に感じられることが多いかもしれません。しかし、基礎的な概念や公式を丁寧に学ぶことで、その美しさや魅力を理解することができるでしょう。また、数学は知的好奇心を満たすことができる学問でもあるため、学ぶこと自体が楽しいという人も多くいます。

➡︎こちらのサイトでは、ChatGPTにPythonのコードを書いてもらっています。