円周上の接線とx軸y軸に囲まれる三角形の面積

【CL14】三直線に囲まれる三角形の面積

図のように半径 $1$ の円周上の点から引いた接線と $x$ 軸、$y$ 軸の三直線によって囲まれる三角形の面積 $S(\theta)$ を求め、$\theta$ と $S(\theta)$ の関係をグラフで描いてください。ただし、$0\lt\theta\lt\pi/2$ とします。
 
 
 
 
 
 
 
 
【ヒント】解答にとりかかる前に、面積の最小値がどこにあるのか、$\theta$ を $0$ や $\pi/2$ に近づけると面積はどうなるのか、ということを図に描きながらおおよそのイメージを掴んでください。

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【解答】図を見ると接点が $x$ 軸あるいは $y$ 軸に近づくにつれて三角形は際限なく巨大になることがイメージできると思います。つまり $\theta\rightarrow 0$ または $\theta\rightarrow\pi/2$ において $S(\theta) → +\infty$ になることが予想されます。また円の対称形から考えて $S(\theta)$ は偶関数になるはずです。つまり、$[0,\,\pi/2]$ の中央値である $\pi/4$ で最小値をとるはずです。

これで両端で発散して中央が凹んでいるグラフのイメージは掴めたと思います。それでは実際に確認していきましょう。まずは接線の方程式を求めます。円周上の点を $(x, y)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ とおくと、
 \[\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta,\quad\frac{dy}{d\theta}=\cos\theta\]
より接線の傾きは
 \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\]
で与えられます。よって接線の方程式は
 \[Y-\sin\theta=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\:(X-\cos\theta)\]
となります。この方程式で $X = 0$ とおくと
 \[Y=\frac{1}{\sin \theta}\]
となり、これは求める三角形の高さに相当します。また $Y=0$ とすると
 \[X=\frac{1}{\cos\theta}\]
これは三角形の底辺の長さです。したがって三角形の面積は
 \[S(\theta)=\frac{1}{\sin 2\theta}\]
となります。右辺は $\cos 2\theta$ ですからコセカントのグラフを知っていればすぐにその概形を描くことができますけど、もちろん入試などではきちんと手順を踏まないと減点されます。 $S(\theta)$ を微分すると
 \[S'(\theta)=-\frac{2\cos 2\theta}{\sin^2 2\theta}\]
$0\lt\theta\pi/2$ の範囲では $\sin^2\theta\neq 0$ なので $\cos 2\theta = 0$ すなわち、$\theta=\pi/4$ で極値をとります。その前後の $S’$ の符号からこの点は最小値であることがわかるので、グラフは次のようになります。