完全数(自身を除く約数の和が自身に等しい数)

[問題 NT-10] 完全数であるための条件

 496 が完全数であることを示してください。

問題 NT-10 のヒント

 完全数とは、その数を除く約数の和がその数に等しい数のこと です。たとえば 28 の約数は 1, 2, 4, 7, 14, 28 ですから、28 以外の数を足すと

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

となるので完全数です。

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問題 NT-10 の解答

 上の計算から 496 という数は

496 = 24・31

と表すことができます。ここで 496 の約数の和は

S(496) = (1 + 2 + 22 + 23 + 24) (1 + 31)  [*]

と表すことができます。この式を展開した各項は素因数と素因数同士の積の組合せを全て網羅しています。ですから約数和を求める必要がない場合でも、敢えてこの約数和の式を作って展開して、約数を過不足なく並べることもできます。[*] に戻って約数の和を計算すると

S(496) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16)・32 = 31・32 = 992

となります。ここからその数自身である 496 を引いて

992 - 496 = 496

ですから、496 は完全数であることが示されました。

 ≫ [問題11] 平方して 5 の倍数となる数 ≫ 数学演習問題

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