【SQ27】整数の組を並べます
整数の組の列
\[\begin{align*}&(1,\ 1),\ (1,\ 2),\ (2,\ 1),\ (1,\ 3),\ (2,\ 2),\\[6pt]&(3,\ 1),\ (1,\ 4),\ (2,\ 3),\ (3,\ 2),\ (4,\ 1),\ (1,\ 5),\ \cdots\end{align*}\]を考えます。
(1) 第 $100$ 番目の項を求めてください。
(2) $(m,\ n)$ は何番目の項ですか。（横浜市大）
【ヒント】
数列の要素が 整数の組 となっている珍しいタイプの問題です。
まず最初に数列を群に分けることを考えます。
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【解答】各項 $(m,\ n)$ について、$m+n$ が同じになるような群に分けます。
第 $1$ 群 $(1,\ 1)$
第 $2$ 群 $(1,\ 2),\ (2,\ 1)$
第 $3$ 群 $(1,\ 3),\ (2,\ 2),\ (3,\ 1)$
第 $4$ 群 $(1,\ 4),\ (2,\ 3),\ (3,\ 2),\ (4,\ 1)$
第 $M$ 群の項数は $M$ 個で構成されます。
第 $M$ 群の $(m,\ n)$ については $m+n=M+1$ という関係があります。
(1) 第 $1$ 群から第 $M$ 群までに含まれる項数は
\[f(M)=1+2+\ \cdots\ +M=\frac{M(M+1)}{2}\]
です。$f(13)=91,\ f(14)=105$ なので、$100-91=9$ より、$100$ 番目の組は $13$ 群の最後の項から数えて $9$ 番目にあります。すなわち、第 $14$ 群の $9$ 番目の数です。$m+n=M+1$ より、求める項は $(9,\ 6)$ となります。
(2) $m+n=M+1$ より、$(m,\ n)$ は第 $M=m+n-1$ 群の $m$ 番目です。$M-1=m+n-2$ 群までの項数は
\[1+2+\ \cdots\ +(m+n-2)=\frac{(m+n-1)(m+n-2)}{2}\]
なので、これに $m$ を加えて求める答え
\[m+\frac{(m+n-1)(m+n-2)}{2}\]
が得られます。
【SQ28】複素数列
複素数をある規則にしたがって並べて
\[1+i,\ 1+i,\ 2,\ 1+i,\ 2,\ 5-i,\ 1+i,\ 2,\ 5-i,\ 8,\ 1+i,\ 2,\ 5-i,\ 8,\ 9-i\cdots\]
という数列をつくります。
(1) 第 $75$ 項を求めてください。
(2) 初項から第 $75$ 項までの和を求めてください。
【ヒント】今回はオリジナル問題です。$1+i$ を先頭にした群に区切って考えます。
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【解答】与えられた数列を $\{a_n\}$ とおきます。
(1) $1+i$ が各群の先頭にくるように分けてみます。
第 $1$ 群 $1+i$
第 $2$ 群 $1+i,\ 2$
第 $3$ 群 $1+i,\ 2,\ 5-i$
第 $4$ 群 $1+i,\ 2,\ 5-i,\ 8$
・・・・・・・・・・・・・・・
それぞれの群は複素数と実数が交互に並ぶ数列です。ここから規則性を見つけることはなかなか難しいとは思いますが、実部が初項 $1$, 公差 $2$ の等差数列、虚部が初項 $i$, 公比 $i$ の等比数列になっているのです。第 $M$ 群の項数は $M$ です。
実部：$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \cdots$
虚部：$i,\ i^2,\ i^3,\ i^4,\ i^5,\ \cdots$
実部と虚部を足してみると
\[1+i,\ 3+i^2,\ 5+i^3,\ 7+i^4,\ 9+i^5,\ \cdots\]
$i^2=-1,\ i^4=1$ なので、偶数項では虚数は消えて、
\[1+i,\ 2,\ 5-i,\ 8,\ 9+i,\ \cdots\]
という数列になります。すなわち、ある群の $k$ 番目の項は
\[2k-1+i^k\]
で表されることがわかります。群の項数は $1$ つずつ増えていくので、第 $1$ 群から第 $M$ 群までに含まれる項数は
\[f(M)=\frac{M(M+1)}{2}\]
となります。$f(11)=66,\ f(12)=78$ なので、$a_{75}$ は第 $12$ 群の $9$ 番目です。したがって、
\[a_{75}=2\times 9-1+i^9=17+i\]
となります。
(2) 第 $M$ 群に含まれる項の総和を $S(M)$ とすると、
\[\begin{align*}S(M)&=\sum_{k=1}^{M}(2k-1+i^k)\\[6pt]&=2\sum_{k=1}^{M}k-\sum_{k=1}^{M}1+\sum_{k=1}^{M}i^k\\[6pt]&=2\cdot \frac{M(M+1)}{2}-M+\frac{i(i^M-1)}{i-1}\\[6pt]&=M^2-\frac{(i-1)(i^M-1)}{2}\end{align*}\]
となります（念のために検算して $S(1)=1+i,\ S(2)=3+i$ となることを確認してください）。(1) で第 $12$ 群は $a_{78}$ で終わっているので、$S(1)$ から $S(12)$ を加えて、$a_{76},\ a_{77},\ a_{78}$ を差し引けば、求める答えが得られます。すなわち
\[S=S(1)+S(2)+S(3)+\ \cdots\ +S(12)-a_{76}-a_{77}-a_{78}\]
を計算します。$S(1)$ から $S(12)$ の和は
\[\begin{align*}&S(1)+S(2)+S(3)+\ \cdots\ +S(12)\\[6pt]&=\sum_{M=1}^{12}\left\{M^2-\frac{(i-1)(i^M-1)}{2}\right\}\\[6pt]&=\sum_{M=1}^{12}M^2-\frac{i-1}{2}\sum_{M=1}^{12}(i^M-1)\\[6pt]&=\frac{12(12+1)(2\cdot 12+1)}{6}-\frac{i-1}{2}\left\{ \frac{i(i^{12}-1)}{i-1}-12\right\}\\[6pt]&=644+6i\end{align*}\]
となります。$a_{76},\ a_{77},\ a_{78}$ はそれぞれ第 $12$ 群の $10,\ 11,\ 12$ 番目なので、
\[\begin{align*}&a_{76}=2\cdot 10-1+i^{10}=19+i^2=18\\[6pt]&a_{77}=2\cdot 11-1+i^{11}=21-i\\[6pt]&a_{78}=2\cdot 12-1+i^{12}=23+1=24\end{align*}\]
となります。よって求める和は
\[S=644+6i-18-(21-i)-24=581+7i\]
となります。
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