双曲線余弦関数と2次関数



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≫ 挑戦問題 PS-19 が入りました。

 双曲線余弦関数(hyperbolic cosine)は
 
\[\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]
によって定義されます。グラフの概形は2次関数とよく似ているのですが全くの別物です。とはいえ何となく似たもの同士を比べてみたくなったので、いくつか関数を作って調べてみました。
 

y = coshx - x2 - 1

 coshx から x2 + 1 を引いて
 
\[y=\cosh x-x^2-1\]
という関数をつくってグラフに描いてみると ......

 双曲線余弦引く2次関数グラフ

 y = coshx (青い点線) と y = -x2 - 1 (緑の点線) の間を縫うような曲線となっていますね。指数関数のほうが2次関数より増加率が大きいので、全体としては x の正負で発散する関数となっていますが、 -2 < x < 2 のあたりでは2次関数に引張られて一時的に値を落として極値を2つ作っています。
 

y = coshx / x2

 今度は coshx を x2 で割って
 
\[y=\frac{\cosh x}{x^2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2x^2} \qquad (0 \lt x)\]
という関数のグラフを描いてみます。

 双曲線余弦割る2次関数グラフ

 やはり coshx のほうが増加率で優るので、x → 0 と x → ∞ で + ∞ に発散する関数となっています。最小値は x = 2 のあたりにありそうですね。少し手を動かして確認しておきましょう。両辺に x2 をかけて
 
\[2x^2y=e^x+e^{-x}\]
の両辺を微分すると
 
\[\begin{align*}&4xy+2x^2y'=e^x-e^{-x}\\[8pt]
&y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2x^2}-\frac{4xy}{2x^2}=y-\frac{2y}{x}= y\left( 1-\frac{2}{x} \right)\end{align*}\]
 y′= 0 とおくと、ちょうど x = 2 で最小値をとることがわかります。

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