大学2年生になって学ぶ数学

大学2年生で学ぶ科目① 微分方程式と確率・統計

 「大学で学ぶ数学は難しい?」シリーズの3回目です。

 今回から(数学科以外の)理工学部2年生で学ぶと思われる科目を紹介します。このあたりは選択科目であることも多いですし、大学によっては3年生で学ぶかもしれませんけど、まあ大体こんな感じですよ、という適当な記事です。

微分方程式

 1年生で微積分の基礎を学びましたが、そのなかの 微分方程式 に絞って、さらに深く掘り下げて学びます。2年生で常微分方程式、3年生で偏微分方程式というように講義が分かれているケースもあるかもしれません。いずれにしても微分方程式は自然界を記述する重要な手段ですから、物理学や工学のみならず、生命科学などでも個体数の増加モデルを作るなど、非常に幅広い分野で応用される分野です。常微分方程式に限定すると主に次のようなことを学びます。

 変数分離型、同次型、1階線型、2階線型、相空間 ......

 この科目は微積分と同じように、それほど難しい分野ではありません。ただ方程式の型ごとに解法が細かく分類されているので、それを覚えるのに少し汗をかくことになります。しかし、この微分方程式という分野は解くこと以上に「解について調べる」という姿勢がとても大切です。選んだ初期値や定数などによって解がどのように変化するかを知るために解曲線をグラフに描いて分析したりします。下図はロジスティック方程式の解曲線です。

微分方程式ロジスティック曲線のグラフ
 数値計算などを行う理論系であれば、研究の基本スタイルである

 モデル化する ⇒ 解いてみる ⇒ 結果を分析する ⇒ モデルを修正する

というようなサイクルの基本を学ぶことになります。将来どの分野に進むにしても決して無駄になることはありませんので、ぜひとも選択しておきたい科目の1つです。

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確率・統計

 確率・統計 の基本は高校でも学びますが、大学で学ぶ確率・統計はほとんど別物に思えるほど重厚な構成になっています。集合や確率についての基本的な考え方を学んだあと、

 2項定理、期待値と分散、ポアソン分布、正規分布、確率過程

というようなことを学びます。2年生の講義の中ではかなり難度の高い分野といえます。自然界の様々な確率的・統計的現象に適用できるように、数式は高度に一般化されています。積分形式で書かれた定義式も多く、ベータ関数やガンマ関数などの難しい関数もどんどん登場してきます。

 まあ積分自体はごりごり計算すればなんとかなるんですけど(知力はいらないけど根気と体力が必要です)、「これは何の計算をしているんだろうか」というイメージを掴んでおかないと、汗をかいているぶんだけ徒労感が強くなります。

 ですから一般的な公式の証明を理解する以上に、公式を具体的な現象に当てはめて「なるほど。この現象はこういう分布に従うんだな」とじっくり消化しながら学習を進めていくことが大切です。化学科や物理学科であれば原子や分子の集団的振る舞いを記述する「統計力学」に直結する科目ですので、外せない科目となります。

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