三角関数の微分積分

 

三角関数の微分 Derivatives of trigonometric functions

 三角関数の微分公式です。

\[\begin{align*}&(\mathrm{sin}x)'=\mathrm{cos}x\tag{1}\\[10pt]
&(\mathrm{cos}x)'=-\mathrm{sin}x\tag{2}\\[10pt]
&(\mathrm{tan}x)'=\mathrm{sec}^2x=\frac{1}{\mathrm{cos}^2x}\tag{3}\\[10pt]
&(\mathrm{csc}x)'=-\frac{\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}^2x}\tag{4}\\[10pt]
&(\mathrm{sec}x)'=\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}^2x}\tag{5}\\[10pt]
&(\mathrm{cot}x)'=-\mathrm{csc}^2x=-\frac{1}{\mathrm{sin}^2x}\tag{6}\end{align*}\]

証明

 (1) を証明すれば、(2) から (6) は芋づる式に証明されます。
 (1) の証明には三角関数の和と積の公式を用います:
\[\mathrm{sin}A-\mathrm{sin}B=2\mathrm{sin} \left( \frac{A-B}{2}\right)\mathrm{cos} \left(\frac{A+B}{2}\right)\] y = sinx とおいて微分すると
\[\begin{align*}\frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}(x+\Delta x)-\mathrm{sin}x}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2\: \mathrm{sin}(\Delta x/2)\: \mathrm{cos}(x+\Delta x/2)}{\Delta x}\\
&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\mathrm{sin}(\Delta x/2)}{\Delta x/2}\mathrm{cos}(x+\Delta x/2)\end{align*}\] 

(2) の証明
\[y=\mathrm{cos}x=\mathrm{sin}\left ( x+\frac{\pi}{2} \right ) \qquad
\frac{dy}{dx}=\mathrm{cos}\left ( x+\frac{\pi}{2} \right )=-\mathrm{sin}x\] 

(3) の証明
\[\begin{align*}&y=\mathrm{tan}x=\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}x}\\[10pt]
&\frac{dy}{dx}=\frac{(\mathrm{sin}x)'\mathrm{cos}x-\mathrm{sin}x(\mathrm{cos}x)'}{\mathrm{cos}^2x}=\frac{1}{\mathrm{cos}^2x}=\mathrm{sec}^2x\end{align*}\] 

(4) の証明
\[y=\mathrm{csc}x=\frac{1}{\mathrm{sin}x} \qquad
\frac{dy}{dx}=-\frac{\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}^2x}\] 

(5) の証明
\[y=\mathrm{sec}x=\frac{1}{\mathrm{cos}x} \qquad
\frac{dy}{dx}=-\frac{(\mathrm{cos}x)'}{\mathrm{cos}^2x}=-\frac{\mathrm{sin}x}{\mathrm{cos}^2x}\] 

(6) の証明
\[\begin{align*}&y=\mathrm{cot}x=\frac{1}{\mathrm{tan}x}\\[10pt]
&\frac{dy}{dx}=-\frac{(\mathrm{tan}x)'}{\mathrm{tan}^2x}=-\frac{\mathrm{sec}^2x}{\mathrm{tan}^2x}=-\frac{1}{\mathrm{sin}^2x}\end{align*}\]
 

三角関数の積分 Integrals of trigonometric functions

 
 三角関数の微分公式を書き換えると直ちに以下の積分公式が得られます。

\[\begin{align*}\int \sin xdx=-\cos x+C \tag{7}\\[6pt]
\int \cos xdx=-\sin x+C \tag{8}\\[6pt]
\int \sec ^2xdx=\tan x+C \tag{9}\\[6pt]
\int \csc ^2xdx=-\cot x+C \tag{10}\end{align*}\]

 

secx, cscx, cotx の積分 Integrals of secx, cscx, cotx

 正割、余割、余接の積分公式です。
 secx = 1/cosx, cscx = 1/sinx, cotx = 1/tanx で定義されています。

\[\begin{align*}\int \sec xdx=&\frac{1}{2}\:\log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C \tag{11}\\[6pt]
\int \csc xdx=&-\frac{1}{2}\:\log \frac{1+\cos x}{1-\cos x} +C=\log \left( \tan \frac{x}{2} \right) +C \tag{12} \\[6pt]\int \cot xdx=&\log |\sin x|+C \tag{13} \end{align*}\]

(1) の証明

 被積分関数を次のように変形します。
 
\[\frac{1}{\cos x}=\frac{\cos x}{\cos ^2x}=\frac{\cos x}{1-\sin ^2 x}\]
 このまま進めても計算できますが、ここでは sinx = t と置いて置換積分してみます。cosxdx = dt なので、
 
\[\int \sec xdx=\int \frac{dt}{1-t^2}\]
 左辺を部分分数分解すると
 
\[\begin{align*}\int \sec xdx=&\int \left ( \frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right )dt\\[6pt]
=&\frac{1}{2} \left \{ \log (1+t)-\log (1-t) \right \}+C\\[6pt]
=&\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{1-t}+C\\[6pt]
=&\frac{1}{2}\log \frac{1+\sin x}{1-\sin x}+C\end{align*}\]
となります。log の中身に絶対値をつけている公式を見かけることもありますが、-1 < t < 1 なので、特に絶対値記号は必要ありません(つけてあっても間違いではないです)。

(2) の証明

 被積分関数を次のように変形します。
 
\[\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x}{\sin ^2x}=\frac{\sin x}{1-\cos ^2 x}\]
 cosx = t とおくと、sinxdx = -dt
 
\[\int \csc xdx=\int \frac{dt}{t^2-1}=\int \frac{dt}{(t+1)(t-1)}\]
 左辺を部分分数分解すると
 
\[\begin{align*}\int \csc xdx=&\frac{1}{2}\int \left ( \frac{1}{t-1} -\frac{1}{t+1}\right )dt\\[6pt]
=&-\frac{1}{2}\, \log \frac{1+t}{1-t}+C\\[6pt]
=&-\frac{1}{2}\, \log \frac{1+\cos x}{1-\cos x}+C\end{align*}\]
 ここで半角公式
 
\[\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\]
を用いると
 
\[\int \csc xdx=\log \left( \tan \frac{x}{2} \right) +C\]
と書くこともできます。

(3) の証明

 cotx = 1/tanx は
 
\[\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{(\sin x)'}{\sin x}\]
のように変形できるので
 
\[\int \cot xdx=\log |\sin x|+C\]
となります。

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