1桁の数字による割り算(既約分数の活用と2重割り算)



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既約分数を活用して割り算します

 2 および 1 桁の奇素数 (1, 2, 3, 5, 7) による割り算です。
 前回扱った既約分数の値を使います。
 表を再掲しますので、参照しながら記事を読んでください。

 1 / 2 = 0.5, 1 / 3 = 0.333, 1 / 4 = 0.25, 1 / 5 = 0.2

 1 / 8 = 0.125, 1 / 9 = 0.111, 1 / 20 = 0.05, 1 / 25 = 0.04

2 で割ります

 末尾が偶数である数は必ず 2 で割り切れます。 2 で割ることはそう難しくないのですが、割られる数が大きいと計算速度に個人差が現れます。割り算は筆算すると無駄な計算スペースをとるうえに間違えやすいので、なるべく避けて

1356 ÷ 2 = (1300 + 56) ÷ 2 = 650 + 28 = 678

というように横書きで計算します。この形ならば暗算でも思い浮かべやすいはずです。末尾の数が奇数である場合には、

2473 ÷ 2 = (2400 + 70 + 3) ÷ 2 = 1235 + 1.5 = 1236.5

のように必ず末尾に + 0.5 が現れます。

3 で割ります

 3 で割るときは 3 の倍数を取り分けるようにします:

108 ÷ 3 = (99 + 9) ÷ 3 = 33 + 3 = 36

1149 ÷ 3 = (999 + 150) ÷ 3 = 333 + 50 = 383

 3 で割り切れないときは既約分数 1 / 3 = 0.333 ... を使います:

658 ÷ 3 = (630 + 28) ÷ 3 = 210 + 9 + 1 / 3 = 219.333

既約分数の 10 倍、100 倍を使いこなすと計算の幅が広がります。たとえば

893 ÷ 3 = (660 + 233) ÷ 3 = 220 + 11 + 200 / 3

という計算で 2 / 3 = 0.6666 ... を用いると 200 / 3 = 66.667 ですから

893 ÷ 3 = 231 + 66.667 = 297.667

となります。

5 で割ります

 5 で割るときは少し変則的に計算します。
 5 = 10 ÷ 2 と考えて、2 倍してから 10 で割るのです。

185 ÷ 5 = 185 × 2 ÷ 10 = 370 ÷ 10 = 37

 割り切れなくても同じように計算できます。

119 ÷ 5 = 119 × 2 ÷ 10 = 238 ÷ 10 = 23.8

7 で割ります

 1 / 7 は分数表に載せていませんが、それには事情があります。 7 を分母とし、分子が分母より小さい既約分数は 1 / 7, 2 / 7, 3 / 7, 4 / 7, 5 / 7, 6 / 7 の 6 つもあります。 1 / 7 の値を小数点以下 8 桁まで計算すると

1 / 7 = 0.14285714

ですが、たとえばこの精度で 4 / 7 を計算すると

4 / 7 = 0.57142856

となります。この段階で四捨五入すると

4 / 7 = 0.571

 しかし 1 / 7 = 0.143 と四捨五入した値を 4 倍すると

4 / 7 = 0.572

となって小数点以下 3 桁で誤差が生じてしまいます。このあたりの誤差をどう見るかは個人差もあると思いますが、私としては少なくない誤差だと思うので 4 / 7 以上は使っていません。しかしこうした事情もふまえたうえで 1 / 7, 2 / 7, 3 / 7 まではこれまでと同じような方法で計算して構いません(ただ、1 / 7 = 0.143 が覚えやすいとはいえないので無理に使う必要もありません)。 7 で割るときはもちろん 7 の倍数を取り分けます。

583 ÷ 7 = (560 + 23) ÷ 7 = 80 + 3 + 2 / 7 = 83.286

問題 次の式を計算してください

(1) 155 ÷ 3  (2) 133 ÷ 5  (3) 119 ÷ 5  (4) 107 ÷ 7

問題の解答

(1) 155 ÷ 3 = (150 + 5) ÷ 3 = 50 + 1 + 2 / 3 = 51.667
(2) 133 ÷ 5 = 133 × 2 ÷ 10 = 266 ÷ 10 = 26.6
(3) 119 ÷ 5 = 119 × 2 ÷ 10 = 238 ÷ 10 = 23.8
(4) 107 ÷ 7 = (70 + 37) ÷ 7 = 10 + 5 + 2 / 7 = 15.286
 

2重割り算

 素数でない数のことを合成数とよびますが、合成数はたとえば 6 = 3 × 2 のように何らかの数の積に分解できるので合成数で割るときには 2 重割り算という手法に持ち込めます。詳しい方法は以下の解説で。

 1 / 2 = 0.5, 1 / 3 = 0.333, 1 / 4 = 0.25, 1 / 5 = 0.2

 1 / 8 = 0.125, 1 / 9 = 0.111, 1 / 20 = 0.05, 1 / 25 = 0.04

4 で割ります

 割り切れそうなときは 2 で 2 回割ります(2 重割り算)。

296 ÷ 4 = 296 ÷ 2 ÷ 2 = 148 ÷ 2 = 74
872 ÷ 4 = 872 ÷ 2 ÷ 2 = 436 ÷ 2 = 213

2 で 1 回割り切れて、2 回目が割り切れないときは末尾に 0.5 が現れます。

870 ÷ 4 = 435 ÷ 2 = 217.5

 割り切れない時は 4 の倍数を取り分けます。

1591 ÷ 4 = (1600 - 9) ÷ 4 = 400 - 2 - 1 / 4 = 398 - 0.25 = 397.75

 上の例では 1600 を基準にとって引き算に持ち込みました。
 1 / 4 = 0.25 の倍数は扱いやすいので、思いきって引き算にしてしまうのも手です。

6 で割ります

 割られる数が偶数なら 2 と 3 で続けて割ります。

108 ÷ 6 = 108 ÷ 2 ÷ 3 = 54 ÷ 3 = (60 - 6) ÷ 3 = 18

 仮に 2 で割った時点で奇数になったら、3 の倍数を取り出して割り算します。

106 ÷ 6 = 53 ÷ 3 = (33 + 20) ÷ 3 = 11 + 6 + 2 / 3 = 17.667

 割られる数が奇数なら 6 の倍数を取り分けます。

357 ÷ 6 = (360 - 3) ÷ 6 = 60 - 1 / 2 = 59.5

8 で割ります

 割り切れるところまで 2 で立て続けに割ります。

 [4104 ÷ 8 の計算]

  4104 ÷ 2 = 2052, 2052 ÷ 2 = 1026, 1026 ÷ 2 = 513

 これは割り切れましたが、割り切れない場合も見ておきます。

 [4106 ÷ 8 の計算]

  4106 ÷ 2 = 2053

  2053 ÷ 4 = (2040 + 13) ÷ 4 = 510 + 3 + 1 / 4 = 513.25

9 で割ります

 9 は 3 × 3 の合成数ですが、基本的には 99 や 999 などを取り分けたほうが 2 重割り算よりも早いことが多いです。

2907 ÷ 9 = (999 × 2 + 909) ÷ 9 = 222 + 101 = 323

 999 × 2 で 2000 に 2 つ足りない数を作っているわけですから、残りの 907 に 2 を足して 909 としているのです。割り切れない例も見ておきます。

1631 ÷ 9 = (999 + 630 + 2) ÷ 9 = 111 + 70 + 2 / 9 = 181.222

 1 / 9 = 0.111 ... ですから端数の処理は比較的簡単です。

問題 次の式を計算してください

(1) 130 ÷ 4  (2) 234 ÷ 6  (3) 1004 ÷ 6  (4) 1500 ÷ 9

問題の解答

(1) 130 ÷ 4 = 65 ÷ 2 = 30.25
(2) 234 ÷ 6 = 117 ÷ 3 = (99 + 18) ÷ 3 = 33 + 6 = 39
(3) 1004 ÷ 6 = 502 ÷ 3 = (480 + 22) ÷ 3 = 160 + 7 + 1 / 3 = 167.333
(4) 1500 ÷ 9 = 500 ÷ 3 = (480 + 20)÷ 3 = 160 + 6 + 2 / 3 = 166.667

 (4) は 9 で割っていますが、明らかに 3 で 1 回割ったほうが( 2 重割り算にもちこんだほうが)早いです。このあたりは臨機応変に! ≫ 学び直し数学講座

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