σ(n)：全ての約数のべき乗を足し加える関数

約数関数の定義

約数関数の定義

【定義D2】ある自然数 $n$ について、全ての約数のべき乗を足し加えたものを約数関数（divisor function）と定義する：
\[\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k=d_1^2+d_2^2+\cdots\]

べき関数 $f(n)=n^k$ は
\[f(ab)=(ab)^k=a^k\,b^k=f(a)\,f(b)\]
という関係を満たすので乗法的関数です。したがって前回記事の定理D2

$f(n)$ が乗法的関数　$\displaystyle\Longrightarrow\quad g(n)=\sum_{d\:|\:n}f(d)$ も乗法的関数

によって、約数関数もまた乗法的関数であることがわかります。　

約数の個数

$\sigma_k(n)$ の定義において $k=0$ とすると

\[\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1\]

となり、これは約数を 1 個、2 個と数えることを意味します。つまり $\sigma_0(n)$ は約数の個数を表す関数です。たとえば $12$ の約数は
\[\{\:1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;12\:\}\]
の $6$ 個なので、$\sigma_0(12)=6$ となります。もし $n$ がある１つの素数 $p$ のべき乗 $n=p^a\;(a\in\mathbb{Z})$ であるならば、その約数は
\[\{\:1,\;p,\;p^2,\;\cdots,\;p^a\:\}\]
の $a+1$ 個となるので、$\sigma_0(p^a)=a+1$ となります。そこで次の定理が成り立ちます。

【定理D3】ある自然数 $n$ が
\[n=p_1^{a1}\,p_2^{a2}\,\cdots\,\;(a_1,\,a_2,\,\cdots\,\in\mathbb{Z})\]のように素因数分解されるとき、約数の個数は
\[\sigma_0(n)=(a_1+1)\,(a_2+1)\,\cdots\]で与えられる。

たとえば $12$ を素因数分解すると $12=2^2\,3^1$ となるので、
\[\sigma_0(12)=(2+1)\,(1+1)=6\]
となります。もっと大きな数で試してみましょう。たとえば
\[29400=2^3\,3^1\,5^2\,7^2\]
なので、約数の個数は
\[\sigma_0(29400)=(3+1)\,(1+1)\,(2+1)\,(2+1)=72\]
となります。

約数の和

約数関数 $\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^{\,k}$ において $k=1$ とすると
\[\sigma_1(n)=\sum_{d|n}d=d_1+d_2+\cdots\]
となり、これは約数の和を表す式です。たとえば $n=10$ の約数を並べると
\[\{\:1,\;2,\;5,\;10\:\}\]
なので、その総和は
\[\sigma_1(n)=1+2+5+10=18\]
となります。もっと大きな数になると約数を全部並べるのは大変なので、素因数分解を利用して総和を求めます。仮に $n$ がある１つの素数 $p$ のべき乗 $n=p^a\;(a\in\mathbb{Z})$ で表されるとき、その約数は
\[\{\:1,\;p,\;p^2,\;\cdots,\;p^a\:\}\]
の $a+1$ 個となるので、その総和は等比級数の公式を用いて
\[\sigma_1(p^a)=1+p+p^2+\cdots+p^a=\frac{p^{\,a+1}-1}{p-1}\]
というように求められます。

【定理D4】自然数 $n$ が $p_1^{\,a_1}\,p_2^{\,a_2}\,\cdots$ のように素因数分解されるとき、その約数の総和は
\[\sigma_1(n)=\frac{p_1^{\,a_1+1}-1}{p_1-1}\,\frac{p_2^{\,a_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\]で与えられる。

[証明] 約数関数は乗法的関数なので、
\[\sigma_1(ab)=\sigma_1(a)\sigma_1(b)\]
が成り立ちます。よって
\[\sigma_1(n)=\sigma_1(p_1^{\,a_1})\,\sigma_1(p_2^{\,a_2})\,\cdots=\frac{p_1^{\,a_1+1}-1}{p_1-1}\,\frac{p_2^{\,a_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\]
となります。（証明終）

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完全数と友愛数

上の公式を $28$ という数字に適用してみます。$28=2^2\,7^1$ なので、$28$ の約数の総和は
\[\sigma_1(28)=\frac{2^3-1}{2-1}\,\frac{7^2-1}{7-1}=56\]
となります。この値から自身の数 $28$ を引くと $28$ となって、ちょうど自身に等しい値となります。一般に「自身を除いた約数の和が自身に等しくなるような数」のことを完全数とよびます。その定義を約数関数を用いて表すと
\[n=\sigma_1(n)-n\quad\Longleftrightarrow\quad \sigma_1(n)=2n\]
となります。また「自身を除いた約数の和が互いに等しくなる数」、すなわち
\[\begin{cases}&\sigma_1(a)-a=b\\[6pt]
&\sigma_1(b)-b=a\end{cases}\]
が成り立つような 2 数のことを友愛数（親和数）とよびます。上の定義から $\sigma_1(a)=\sigma_1(b)$ が成り立つので、友愛数とは $\sigma_1(n)$ が互いに等しくなるような $n$ と言い換えることもできます。

完全平方数に関する定理

約数関数 $\displaystyle\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k$ において $k=2$ とおくと
\[\sigma_2(n)=\sum_{d|n}d^k=d_1^2+d_2^2+\cdots\]
となり、これは約数の 2 乗和（平方和）を表す式となります。ある自然数が素数 $p$ を用いて $n=p^a$ の形で表されるとき、その約数を並べると
\[\{\:1,\;p,\;p^2,\;\cdots,\;p^{a}\:\}\]
の $a+1$ 個であり、それぞれを 2 乗すると
\[\{\:1,\;p^2,\;p^4,\;\cdots,\;p^{2a}\:\}\]
となるので、等比級数の公式を使って足し合わせると、
\[\sigma_2(p^a)=1+p^2+p^4+\cdots+p^{2a}=\frac{p^{2(a+1)}-1}{p^2-1}\]
となります。したがって $n$ が $p_1^{a_1}\,p_2^{a_2}\,\cdots$ のように素因数分解されるとき、その約数の総和は
\[\sigma_1(n)=\frac{p_1^{\,2a_1+2}-1}{p_1^2-1}\,\frac{p_2^{\,2a_2+2}-1}{p_2^2-1}\cdots\]
で与えられます。約数和と約数の 2 乗和、および完全平方数の間には次のような定理が成り立ちます。

【定理D5】ある自然数 $n$ が完全平方数であるとき、
\[\sigma_1(n)\:|\:\sigma_2(n)\]が成り立つ。

[証明]
$n$ は平方数なので素数 $p$ を用いて $n=p^{2a}$ と書けます。
等比級数の公式を用いて $\sigma_1(n),\;\sigma_2(n)$ を計算すると
\[\begin{align*}\sigma_1(n)&=\frac{p^{\,2(a+1)}-1}{p^2-1}\\[6pt]\sigma_2(n)&=\frac{p^{\,2(2a+1)}-1}{p^2-1}=\frac{(p^{\,2a+1}+1)(p^{\,2a+1}-1)}{(p+1)(p-1)}\end{align*}\]
となるので、
\[\frac{\sigma_2(n)}{\sigma_1(n)}=\frac{p^{\,2(a+1)}+1}{p+1}\]
$p^{\,2(a+1)}+1$ は $p=-1$ を因子にもつので $p+1$ で割り切れます。したがって $\sigma_2(n)/\sigma_1(n)$ は整数であり、$\sigma_2(n)$ は $\sigma_1(n)$ で割り切れます。（証明終）

簡単な例で定理を試してみます。$n=9$ とすると
\[\sigma_1(9)=1+3+9=13,\quad\sigma_2(9)=1^2+3^2+9^2=91\]
なので、$\sigma_2(9)/\sigma_1(9)=7$ となって確かに割り切れます。